三点P１、P２、P３、の位置ベクトルをX１、X２、

質問

三点P１、P２、P３、の位置ベクトルをX１、X２、X３、とするとき三角形P１P２P３の周および内部の点の位置ベクトルは
ｔ１X１＋ｔ２X２＋ｔ３X３ （ｔ１、ｔ２、ｔ３≧０、ｔ１＋ｔ２＋ｔ３＝１） となることを示せ

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

Ｐ１Ｐ２上に点Ｑをとります（Ｐ１Ｑの長さはＰ１Ｐ２の長さのｓ倍とします）。ｓは０＜＝ｓ＜＝１を満たします。

次に、Ｑを通りＰ２Ｐ３に平行な直線を引き、Ｐ１Ｐ３との交点をＲとします。すると、△Ｐ３Ｐ１Ｐ２とＲＰ１Ｑは相似となります。よって線分ＱＲの長さはＰ３Ｐ２の長さのｓ倍になります。

線分ＱＲ上の点をＳとすると、↑Ｐ１Ｓ（ベクトルＰ１Ｓ）は新たな実数ｕを用いて
↑Ｐ１Ｓ＝ｓ↑Ｐ１Ｐ２＋ｕ↑ＱＲ　　（０＜＝ｕ＜＝ｓ）
　　　　＝ｓ（↑Ｐ１Ｐ２＋ｕ↑Ｐ２Ｐ３）　　（同上）
と表わされます。ｓおよびｕが上記の範囲にあるとき、点Ｓは三角形P１P２P３の周および内部の点になります。点Ｓの位置ベクトルは
↑ＯＳ＝↑ＯＰ１＋ｓ（↑Ｐ１Ｐ２＋ｕ↑Ｐ２Ｐ３）
　　　＝Ｘ１＋ｓ（（Ｘ２－Ｘ１）＋ｕ（Ｘ３－Ｘ２））
　　　＝（１－ｓ）Ｘ１＋（ｓ－ｕ）Ｘ２＋ｕＸ３

この式において
１－ｓ＝ｔ１
ｓ－ｕ＝ｔ２
ｕ＝ｔ３と置き換えると、
↑ＯＳ＝ｔ１Ｘ１＋ｔ２Ｘ２＋ｔ３Ｘ３
となり、ｓおよびｕの値の範囲からｔ１、ｔ２、ｔ３≧０であり、
ｔ１＋ｔ２＋ｔ３＝１－ｓ＋ｓ－ｕ＋ｕ＝１
であることが確認できます。