sinxのｘを複素数にしたような数学はあるのですか、

質問

表題の通りなのですが、質問の意味がないのかもしれないと思いますのでその点についても御教示いただければと思います。

回答No.8

info22 · ベストアンサー

＞ピタゴラスの定理も辺の長さを複素数にすると斜辺が入れ替わってしまいますか。

斜辺の長さをr(>0)、直角を挟む２辺の長さをそれぞれx(>0),(y>0>とおけば
ピタゴラスの定理は
x^2＋y^2＝r^2
となります。これをXY座標平面で考えれば半径r(>)の円の第一象限部分の1/4の円になります。
辺の長さx,yを負の領域まで拡張すれば直角三角形の直角以外の2つの頂点は、１つは原点O、他の１つは半径rの円周上にあります。円周上の頂点は、辺の長さx,yを負の領域まで拡張することで円全体の円周上に存在するようになります。

このように直角三角形の辺x,yを負の領域まで拡張しても
ピタゴラスの定理の
x^2＋y^2＝r^2
関係は崩れません。

＞斜辺が入れ替わってしまいますか。
しかし、(x,y)を複素数で置き換えるとピタゴラスの定理の式は変わって、
しまいますね。
(x,y)を(ix,y)または(x,iy)で置換してやるとそれぞれ
－x^2＋y^2＝r^2…（A)
x^2－y^2＝r^2…(B)
つまり、
y^2＝x^2＋r^2
x^2＝y^2＋r^2
と斜辺と他の辺が入れ換わってしまいますね。
（A)と（B)の式は双曲線の式になります（漸近線はy=±x）。

三角関数sin(x),cos(x),tan(x)のxをixで置換して生まれてきた
双曲線関数sinh(x),cosh(x),tanh(x)では三角関数と類似の公式や関係式が成立します（参考URLをご覧下さい）。
またこれらの関係は微分・積分でも役立っています。
∫sin(x)dx=-cos(x)+C→∫sinh(x)dx=cosh(x)+C
∫cos(x)dx=sin(x)+C→∫cosh(x)dx=sinh(x)+C
∫tan(x)dx=-ln(cos(x))+C→∫tanh(x)dx=ln(cosh(x))+C

∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x)+C→∫dx/√(1+x^2)=arcsinh(x)+C
∫dx(-1)/√(1-x^2)=arccos(x)+C→∫dx/√((x^2)-1)=arccos(x)+C
∫dx/(1+x^2)=arctan(x)+C→∫dx/(1-x^2)=arctanh(x)+C
ここで、arcsin、arccos、arctan はそれぞれsin^(-1)、cos^(-1)、tan^(-1)とも書きます。
この外、三角関数の積分に類似の積分が双曲線関数でも可能になり、不定積分できる積分や微分の公式が増加しました。

三角関数の公式が双曲線関数ではどうなるか調べてみても面白いでしょう。
ttp://matha.e-one.uec.ac.jp/~yyyamada/Lecture/Printo/hyptri.pdf
http://pal.las.osaka-sandai.ac.jp/~ichihara/Teaching/06S/Analysis2_H/no1.pdf

参考URL：

http://www.alcyone.com/max/reference/maths/hyperbolic.html

お礼

勉強の材料を沢山いただきまして何とお礼申しあげればよいか分かりません。

回答No.7

jlglg

sin θ
={e^(θi)-e^(-θi)}/2i

θ=x+yiとしてみると、

sin(x+yi)
={e^(xi-y)-e^(-xi+y)}/2i
={e^(-y)(cos x+isin x)-e^(y)(cos x-isin x)}/2i
=[{e^(y)-e^(-y)}(-cos x) + {e^(y)+e^(-y)}(isin x)]/2i
=[(sinh y)(-cos x) + (cosh y)(isin x)]/i
=(cosh y)(sin x) + (sinh y)(cos x)i

何かに役立つ感じはなさそうですが。

お礼

ちょっと難しそうですが明日の朝頭を絞って勉強させていただきます。ありがとうございました。

回答No.6

info22

#4です。
＞円と双曲線のような感じもあるのでしょうか。
円：
x^2＋y^2=r^2
楕円：
(x/a)^2＋(y/b)^2＝1

円で
x=r*cos(t), y=r*sin(t)を代入すると
cos(t)^2＋sin(t)^2＝1
変わりに
x=r*cos(it)=r*cosh(t), y=r*sin(it)=ir*sinh(t)を代入すると
cosh(t)^2-sinh(t)^2＝1
という公式が出てきます。

楕円の式で
x=a*cos(t), y=b*sin(t)を代入する代わりに
x=a*cos(it), y=b*sin(it)を代入しても
cosh(t)^2-sinh(t)^2＝1
の公式が出てきます。

いずれも双曲線の関係ではありませんね。

例えば
円や楕円の式を双曲線関数にする変換は
(x,y)の代わりに(x,iy)または(ix,y)を代入しないといけないですね。

なお、y=sin(t),y=cos(t),y=tan(x)は周期関数ですが
y=sin(it)=i*sinh(t), y=cos(it)=cosh(t), y=tan(it)=itanh(x)
はすべて周期関数ではありませんね。

お礼

ご丁寧な解説をありがとうございます。双曲線は高等な数学への入り口のような感じを持ちました。ピタゴラスの定理も辺の長さを複素数にすると斜辺が入れ替わってしまいますか。

回答No.5

Suue

そのような数学はあります。複素関数論がそれに当たります。
実際に、例えば実関数　1/cosx　のマクローリン展開の収束半径を求めるとき、ｘの定義域を複素数に拡張すると簡単に求まる、などの例があります。

このように、定義域を複素数にすると、しばしば記述が簡単になったり、違った考え方で理論を進められるようになり、複素数関数は実関数へ応用することができます。（例えば積分など。）

また、sinxやexp(x)のｘに対し、ｎ次の正方行列を代入した値を定義することもできます。行列の指数関数は微分方程式を解くときにも用いられ、物理学にも応用されます。

お礼

ご丁寧にご説明いただきありがとうございます。三角関数というと三角形を考えてしまうのですが各辺が複素数であるような三角形をイメージすることは可能なのでしょうか。

回答No.4

info22

オイラーの公式は変数は複素数の場合でも成立するよう拡張されています。
以下のような hyperbolic sine/cosine/tanjent などの類似関数が定義され拡張されています。sinh(x), cosh(x), tanh(x)という関数で表されsin(x), cos(x), tan(x)と類似的な性質を持ちます。

exp(ix)=cos(x)+i*sin(x)
exp(-ix)=cos(x)-i*sin(x)

exp(ix)+exp(-ix)=2cos(x)
exp(ix)-exp(-ix)=2i*sin(x)

cos(x)=(1/2){exp(ix)+exp(-ix)}
sin(x)={1/(2i)}{exp(ix)-exp(-ix)}

cos(ix)=(1/2){exp(x)+exp(-x)}=cosh(x)
sin(ix)={1/(2i)}{exp(-x)-exp(x)}=i*sinh(x)

sinh(x)=(1/2){exp(x)-exp(-x)}
cosh(x)=(1/2){exp(x)+exp(-x)}
tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)

sinh(ix)=i*sin(x)
cosh(ix)=cos(x)

sin(x+iy)=sin(x)cos(iy)+cos(x)sin(iy)=sin(x)cosh(y)+i*cos(x)sinh(x)
cos(x+iy)=cos(x)cos(iy)-sin(x)sin(iy)=cos(x)cosh(y)-i*sin(x)sinh(x)

{sinh(x)}'=cosh(x)
{cosh(x)}'=sinh(x)

[{cosh(x)}^2]－[{sinh(x)}^2]＝1

などといった数学が展開されています（ここですべてを尽くすことはできません。）。

参考URL
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E9%96%A2%E6%95%B0

お礼

ご懇切に書いていただき誠にありがとうございます。勉強させていただきます。円と双曲線のような感じもあるのでしょうか。

回答No.3

zk43

複素関数論、あるいは単に関数論といわれる数学の分野があります。
sinのような三角関数だけでなく、指数関数とか対数関数なども複素数
の変数の関数として扱われます。
実数の範囲だけで考えていると困難なものでも、複素数の範囲に拡大
して考えると扱いやすくなったりすることがあります。
むしろ実変数関数は複素変数関数の影を見ているだけかな、という感じ
になったりすることもあります。
関数論初歩（遠山啓著　日本評論社）という本が一番入門的かなと思い
ます。

お礼

御教示ありがとうございます。私の勉強して実変数関数は複素変数関数の影を見ているだけと感じられるようになったらよいなと思います。

回答No.2

Interest

あるにはあります。私は使ったことありませんが。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0
の「複素数への拡張」を見てください。

大学１年の数学のテストで sinh（ハイパボリックサイン）を sin h だと勘違いして回答した記憶が・・・

お礼

どうもありがとうございました。三角関数が急に抽象的(数学的)な感じがしてきました。

回答No.1

noname#69788

専門ではないのでよく分かりませんが、sinxのxは複素数でも良いと思います。
θを実数として
exp(iθ）＝cosθ＋isinθ
などは、物理や化学でよく使います。

お礼

θが複素数の場合にもオイラーの公式は成立するのでしょうか。御教示ありがとうございました。