数学を教えてください！

質問

何度も質問してすみません。下記をお教え願います。
１）sinθ+cosθをｒsin（θ+α）（ｒは正の数、０≦α＜２π）の形に表せ。
√２ sin（θ＋α）になる。で、このαは、cosα＝ａ/√（a^2+b^2）、sinα＝ｂ/√（a^2+b^２）から求めますが、sin・conのαから４５°、１３５°、２２５°が出てくるのに、なぜ答えは４５°だけなんでしょうか。また、正しい求め方の過程を教えてください。
２）円ｘ＾２+ｙ＾２－６ｘ－８ｙ＝０と直線y=ax+ｂ（a,bは定数）が接するとき、a,bの満たす関係式を求めよ。
中心（３，４）　半径＝５になり、（ｘ１，ｘ２），ax+by+ｃ＝０のとき、距離＝（ax1+by1+c）/√（a^2+b^2）の公式を使うのですが、どうこの公式に当てはめてよいか分かりませんどうしたらよいですか。また、当てた後も教えてください。

回答No.5

kkkk2222 · ベストアンサー

１）

（１）　＞＞sinθ+cosθ=ｒsin（θ+α）、（ｒは正の数、０≦α＜２π）
（２）　＞＞cosα＝ａ/√（a^2+b^2）、sinα＝ｂ/√（a^2+b^２）

加法定理　sin（θ+α）=sinθcosα+cosθsinαを前提として、
ＳＩＮ、ＣＯＳの合成は、

Ｐ＝sinθ+cosθ
＝√２［(1/√２)sinθ+(1/√２)cosθ］

此処で(1/√２)＝cosα、(1/√２)＝sinα
　を、満たすαは、α＝４５°のみとなります。
　さすれば、条件　０≦α＜２π　は何なのでしょうか。
　此れは、０≦θ＜２πの（読み違え）でしょう。
　手元のＴＥＸＴで確認して下さい。

＝√２［sin（θ＋４５度）］

　また、０≦θ＜２πの条件がないならば、
√2［sin（θ+45度+360度）］、√2［sin（θ+45度+720度）］なども解となり、
まずは、０≦θ＜２π　と見てＯＫと。

次に、基本的には（２）は正しい考え方ですが、
α＝３０，４５、６０、など数値が算出可能の時は、書かなくてもＯＫと。
ーーー
２）
＞＞円ｘ＾２+ｙ＾２－６ｘ－８ｙ＝０
＞＞直線ｙ＝ａｘ＋ｂ　（ａ、ｂは定数）が接するとき、
＞＞ａ、ｂの満たす関係式を求めよ。
　　　（（ｘ－３）＾２）＋（（ｙ－４）＾２）＝５＾２　
　　　中心、（３、４）、半径５の円、ｙ＝ａｘ+ｂ　→ａｘーｙ＋ｂ＝０
　　　接するためにには、ａｘーｙ＋ｂ＝０と中心（３、４）の距離が５、
　　　距離の公式を使用して、｜３ａー４＋ｂ｜／√（（ａ＾２）＋１）＝５
と書きましたが、
果たして、判ってモラエルかは不安でした。
問題数の関係で詳述できず、可能なら複数のスレッドに・・・・。

　　　　　　　　　　　　　○　　　　　
　　　　　　○　　　　　　　　　　　　○　　　　　　
　　　　　　｜
　　　　　　｜
　　　　　　｜
　　　　　　｜
　　○　　　　　　　　　　●　　　　　　　　　○
　　　　　　｜中心　Ｃ（３、４）
　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　／
　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　／ａｘーｙ＋ｂ＝０
　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　　／
ーーーー○ーーーーーーーーー○　　ーーーーー
　　　　　　　　　　　　　○　　　　／接点　Ｐ
　　　　　　　　　　　　　　　　／
　　　　　　　　　　　　　／

図には、これ以上は書き込めないので　　　　　　　　　　　　　
　ＰＣとａｘーｙ＋ｂ＝０は垂直です。
　これが最大の根拠となります。
直線の傾きは一定ですから、直線を上下させると、
交わるか、離れてしまいます、
　＜ＰＣとａｘーｙ＋ｂ＝０は垂直＞
即、距離の公式使用可能。

＞＞ax+by+ｃ＝０のとき
　　　ax+by+ｃ＝０　と　点（x1、y1）の距離は、
　　　Ｘをx1、Ｙをy1　と置き換えて、ＸとＹの係数が、a　b　です。
＞＞距離＝｜（ax1+by1+c）｜/√（a^2+b^2）

ａｘ＋（－１）ｙ＋ｂ＝０、と　（３、４）　距離は５（半径）
５＝｜ａ＊３＋（ー１）＊４＋ｂ｜/√（(ａ^2)+((-1)^2)）
５＝｜３ａ－４＋ｂ｜/√（(ａ^２)+１）・・・・・・（＃！）

このあとの変形は、
５√（(ａ^２)+１）＝｜３ａ－４＋ｂ｜　
両辺を自乗して、
２５（(ａ^２)+１）＝（３ａ＋ｂ－４）＾２
此処で展開して、因数分解を試みましたが、ダメです。

２５＝（（３ａ＋ｂ－４）＾２）ー（（５ａ）＾２）
（－２ａ＋ｂ－４））（８ａ＋ｂ－４）＝２５
此のあと、楕円の方程式になりますが、
予想外でした。
模範解答は、（＃！）が最終形になっているのでは？

回答No.4

fukuda-h

１）はcosα＝１/√2　かつ　sinα＝１/√2　ですから４５°だけです。
半径１の円を書いてx座標（cosα）が１/√2　ｙ座標（sinα）が１/√2
の点を円周上にとれば第一象限に一つしかありません。
１/√2≒0.72ぐらいです
１３５°のときはcos135°＝-１/√2、２２５°のときはsin225°＝cos125°＝-１/√2となって適しません　勘違いです
２）は（円の中心から直線までの距離）＝（円の半径）のとき接しているということです。
だから中心（３，４）と直線y=ax+ｂ（a,bは定数）の距離が円の半径に等しいとおいて、（ｘ１，ｘ２）＝（３，４）と考えればいいのです
それから公式ですが（ax1+by1+c）/√（a^2+b^2）でなくて、分子は絶対値をつけましょう。｜ax1+by1+c｜/√（a^2+b^2）
y=ax+ｂからax-ｙ+ｂ＝0と公式に当てはめるために形をそろえて
｜3a-4+b｜/√（a^2+1）＝５
分母をはらって｜3a-4+b｜＝５√（a^2+1）
両辺を平方して
（3a-4+b)^2＝25（a^2+1）
後は展開して整理すれば良いでしょうね

回答No.3

info22

１）r*sin(θ+α)＝sinθ*(r*cosα)+cosθ*(r*sinα)
≡sinθ+cosθ
r*cosα＝１, r*sinα＝１
r^2＝2
ｒは正の数であるから、r＝√2
cosα＝sinα＝1/√2
これを満たすα（０≦α＜２π）は
α＝45°
135°はcosα＝－1/√2で不適
225°はcosα＝sinα＝－1/√2で不適

２）{(x-3)^2}+{(y-4)^2}＝5^2
円の中心の座標は(3,4)＝(x1,y1)として
接線と円の中心との距離が円の半径r＝5
接線の式は変形して
ax-y+b＝0
A＝a,B＝-1,C＝b
これらの関係を
距離の式＝|Ax1+By1+C｜/√（A^2+B^2）
に代入してやるだけです。
5＝|3a-4+b|/{√(a^2)+1}
後はこの式を整理して下さい。

回答No.2

debut

１）
225°はsinもcosもマイナスなのでありませんね。
cosα＝１/√２なので、α＝45°、315°
sinα＝１/√２なので、α＝45°、135°です。
両方満たさなければならないから、α＝45°。
よって、√２sin(θ＋π/4)

２）
距離の式の分子は絶対値ですよね。
点(x1,y1)から直線ax+by+c=0までの距離は
距離＝｜ax1+by1+c｜/√(a^2+b^2)
円の中心（3,4）から、直線y=ax+b→ax-y+b=0まで
の距離が円の半径５だから、距離の式で
x1を3に、y1を4に、aをaに、bを-1に、cをbにして
＝５とすればいいです。
そこから先は好みの問題のような気が・・

回答No.1

Crowly

上手く説明できるか分かりませんが、解説させていただきます。
１）
ここでポイントとなるのは、sinθとcosθの係数です。両方とも正ですよね？
まず、sinθ+cosθは√2sin(θ+α)となるのはご理解いただけているようですね。では、なぜα=45°となるか。
sinα=cosθの係数/√sinθの係数^2+cosθの係数^2=1/√(1^2+1^2)=1/√2
となりますね。また、
cosα=sinθの係数/√sinθの係数^2+cosθの係数^2=1/√(1^2+1^2)=1/√2
ですね。
sinα=1/√2となるのは、45°と135°しかありません。
また、cosα=1/√2となるのは45°と225°です。
今回の場合、αはsinα=cosα=1/√2となりますから、両方の共通の角度45°が回答になります。

２）
円の方程式は理解されているようですね。
さて、ここでポイントとなるのは円と直線y=ax+bが接する時、円と直線の距離はどうなるかと言うことです。
言うまでもなく0になりますよね。と言うことは、円の半径と、円の中心から直線までの距離は等しいことになります。
したがって、点と直線の距離の公式に当てはめ、
|a*3+b*4+0|/√(a^2+b^2)=5
となります。
これを整理し、
|3a+4b|=5√(a^2+b^2)
両辺を平方し
9a^2+24ab+16b^2=25a^2+25b^2
左辺を移項し、右辺と入れ替え
16a^2-24ab+9b^2=0
因数分解し
(4a+3b)^2=0
よって、
4a=-3b
となります。
ご理解いただけたでしょうか。