Y=X^2 と 微積分 で 「タイヤ止め」の面積

質問

学生時代を思い出しながら、本を読むと　
面積の求め方の考え方に、微積分がでてきました。
しかし、分からない。

Ｙ＝Ｘ＾２、つまり(０，０）、（１，１）、（２，４）等を通過。
Ｙ＝０、
Ｘ＝３、

この３つの方程式に囲まれる部分の面積を求めたいのです。
例えるならば、
停車中の消防車のタイヤが回転しないようにする「タイヤ止め」の形の部分です。

まず、積分。
垂直線であるＹ軸（Ｘ＝０）に平行に、縦に　千切りにして、その細い細い千切り部分の面積を、無理やり長方形と仮定して、それらの長方形の合計を求めるというものですが、数学的には、積分を使うとどういう計算になるのでしょう。

次に、微分。
１/３　＊　Ｘ＾３　　を微分すると、Ｘ＾２になります、今ここで話題にしているＸ＾２になります。
そして、問題のＸの両端は、左が０で、右が３ですから、
各々両端の値を
１/３　＊　Ｘ＾３　　　　という式に代入して出た値の差が面積
らしいのですが、なぜなのでしょうか（考え方が　？？）

まず、Ｘが０なら　１/３　＊　Ｘ＾３　は　ZEROです。

次に、Xが３なら　　１/３　＊　Ｘ＾３　は　９．

だから、９　－　０　＝　９　これが　タイヤ止めの面積。

なんで　このように差をとるのか、
なんで　微分するとX^2となる式を　そもそも考えるのか。

回答No.2

noname#101087

>数学的には、積分を使うとどういう計算になるのでしょう。
>...........
>なんで　微分するとX^2となる式を　そもそも考えるのか。

エプシロン - デルタを使わない乱暴な考え方。テストの答案にこのまま書くと減点されます。
「自分を納得させれば良い」という方だけ自己責任でお使い下さい。

(1) 「タイヤ止め」を x 軸に垂直に dx 刻みの等間隔で垂直にスライスし、スライスの刻み目の座標を原点から順番に xi とする。
　　(i=0, 1, 2, 3, ...... , N)
(2) 各スライスの面積は「ほぼ」f(xi)*dx 、これを足し合わせれば「タイヤ止め」の面積に近似する。式にすれば、
　　F(x)=Σf(xi)*dx
　　dF(x_i+1)=F(x_i+1)-F(xi)=f(xi)*dx
(3) この式の両辺を dx でわると、F(x) の微係数もどきになる。
　　dF(x_i+1)/dx=f(xi)
　強引に dx → 0 と仮想すれば、
　　dF(x)/dx=f(x)
　を得る。

世間では、この F(x) を f(x) の積分(関数)といってます。

回答No.1

koko_u_

ま、適当に回答すると。。。

(Reimann)積分の定義は質問文にあるように、細い千切り部分の総和の極限として求められます。

lime_{どんどん細かく}Σ(千切りした長方形) = ∫f(x)dx

積分する区間を [0, t] とすると ∫_{0～t}f(x)dx は「t の関数 F(t)」と見ることができますね。

積分の基本的な性質が発見されており、それが

「F(t) を微分すると f(t) 」

という驚くべき結果。なので、逆に考えると F(t) = (1/3)t^3 を微分すると f(t) = t^2 なので上の性質に当て嵌めると、

∫_{0～t}x^2 dx = (1/3)t^3

一般に ∫_{u～t}x^2 dx = (0からtまでの面積) - (0から uまでの面積) = (1/3)t^3 - (1/3)u^3

この結果を再度具体的に 0 から 3 までの面積を求めるのに使用するのです。

。。。。わかったかな？