面積が最大になるときのｘとｙとの関係

質問

定円に内接する長方形のうち、どんな場合にその長方形の面積が最大になるか、
長方形の２辺をｘ、ｙとして、面積が最大になるときのｘとｙとの関係を求めよ
という問題が分かりません。
どうやって解けばよいのでしょうか。

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

akeboshiさん、こんにちは。

円に内接している長方形で、２辺がx,yとするのですね。
このとき、長方形の向かい合う頂点を結んだ直線は、
この円の半径になっていますね。

ですから、ピタゴラスの定理より、

x^2+y^2=r^2　r:この定円の直径とする

となっています。
さて、このときに、面積xyが最大になるときを考えたいのですね。

x>0,y>0ですから、xy>0です。
xyが最大になっているときは、当然x^2y^2も最大になっています。
x^2y^2の最大になるときを考えてみます。

x^2+y^2=r^2ですから、y^2=r^2-x^2
これを、
x^2y^2に代入すると
x^2y^2=x^2(r^2-x^2)=-x^4+r^2x^2
=-(x^2-r^2/2)^2+r^4/4

となるので、x^2y^2は、x^2=r^2/2
のときに、最大値r^4/4をとることが分かります。

さて、このときは、y^2=r^2-x^2=r^2-r^2/2=r^2/2=x^2
となり、y^2=x^2しかも、x>0,y>0でしたから
x=yとなっていることも分かります。

これは、どんな長方形かというと、隣り合う２辺の長さが等しい長方形→正方形
であることがいえるのですね。

というわけで、面積が最大になるときのx,yの関係は
x=y
このとき、
x^2y^2=r^2/4より
xy=√(r^4/4)=r^2/2
となるので、直径の２乗の半分になることが分かります。
ご参考になればうれしいです。頑張ってください。

お礼

ありがとうございます。分かりやすくて助かりました！

回答No.3

noname#24477

＃１、＃２に解答が出ているので蛇足になりますが

対角線を考えると
x^2+y^2=(2r)^2　一定
このときｘｙの最大値とそのときのｘ，ｙを求めよ。

こんな問題になります。
解法としては

（１）ｘｙ＝ｋ　と置く。
（２）相加平均＞＝相乗平均　を使う。

などが考えられます。

相加・相乗平均を使ってみると
x^2+y^2＞＝２√（x^2y^2)＝2xy
だからｘｙ＜＝（x^2+y^2)/2＝2r^2
等号が成り立つのは　ｘ＝ｙ　のとき

お礼

ありがとうございます。解決できました。

補足

ありがとうございます。解決できました。

回答No.1

ROYFF

何年生かによって答え方が違うと思いますが・・・。

定円に内接する長方形を1本の対角線でふたつに分けます。
分れた三角形の面積は底辺（円の直径）ｘ高さ（対角線から頂点までの垂線の長さ）÷２　ですから、三角形の面積が最大となる（即ち長方形の面積も最大）のは、この高さが最大となる時、つまりx=yの時。

お礼

ありがとうございます。理解できました。