二円の二つの交点を通る直線について

質問

数学の質問です。

二つの直線の交点を通る図形の方程式を求めるには、恒等式の考えから、二つの直線の方程式を同時に満たす点において常に成立するxとyの一次方程式を、
（直線(1)）+k（直線(2)）=０
と、おおむねこのように立て、kの恒等式として解いて行く考えがあるかと思います。

二円の交点を通る図形を求める際もおなじ考え方ができると思いますが、
二円の交点を通る「直線」
を求める場合、（恐らく）必ずk=-1とすることで求められるように思います。

それならば、二つの円の方程式を連立し、単に片方の方程式からもう片方を引けば同様の方程式が求められるため、それで前述の直線の方程式を求めたことにはならないか、と考えました次第です。

参考書等を見てもこんな単純な解法は書かれていないため、この解法では不十分であることは薄々承知しているのですが、この解法のどこが不十分なのかをいまいち理解できておりません。
二円の方程式を同時に考え（連立し）て直線の方程式を得る考えの、至らない点をご指摘、もしくは不肖の私に根本からご説明頂けると、とても助かります。
ご回答をお待ちしています。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

大変いい着想です。

二つの円の方程式を

x^2+y^2+ax+by+c=0 (1)

x^2+y^2+px+qy+r=0 (2)

としてこれらの共通点を通る図形の方程式を

x^2+y^2+ax+by+c+k(x^2+y^2+px+qy+r)=0

とします。これは一般論としては円の方程式ですが

唯一直線になる場合があって、その条件はk=-1としてx,yの２次の項を消去することにより

(a-p)x+(b-q)y+c-r=0 (3)

が得られます。これは(1)(2)の共通点を通ることと式の形が直線であることから

円(1)(2)の交点を通る直線であると結論されるわけです。

一方、(1)-(2)を作ってみると(3)と全く同じ結果になります。

そもそも、(1)-(2)という演算は(1),(2)の共通の点(x,y)に対して実行できるものであり

それが直線の形をとることにより(3)が目的とする直線であることが確認できます。

お礼

ご回答ありがとうございます！

K=-1以外のときに方程式が円を表すこと、すっかり見落としていました！

そもそも私、本問を直線や二次関数を表す
方程式の問題と混同気味だったみたいで、円の方程式同士の差を取ったときに、交点のx座標やy座標の手掛かりが出てこずにいきなり直線の方程式が出てしまうことに困惑していたことも今回ご質問させて頂いた背景にありました。

その折りにspring135様のご回答で自分の視野が狭かったことに気付くことができ、とても助かりました！

僭越ながら私の独断でベストアンサーに選ばせて頂きました。

trytobe様、spring135様のお陰でとてもすっきりできました！
重ねてのお礼となりますが、本当にありがとうございました！

回答No.1

trytobe

別にいいと思いますよ。

２つの円を表す方程式２つから、(x,y) の解が２つ求まり、検算しても虚像ではなくちゃんと問題文の２円上にあることを確認してあれば、

その２点を通過する直線を求めて終わり、としていいと思います。

お礼

２円の交点を先に求めてあれば確かに確実な解答になりますね！
ありがとうございます！