斉次連立一次方程式？

質問

学校の課題でちょっと分からない問題があります。
助けてください。

Ｓ：部材力（張力や圧縮力で引っ張りを＋）
Ｈ：水平方向の力
Ｖ：鉛直方向の力

とした時に、鉛直方向・水平方向のつりあい式が
Ｓcosθ＝Ｈ
Ｓsinθ＝Ｖ
のようになる図があったとして,これが解を持つためには、ある定理より
　　　｜cosθ｜
　　　｜sinθ ｜　　←（すいません行列です。）
と
　　　｜cosθ H｜
　　　｜sinθ V ｜
のランクが等しくならなければならないので、
これを満たさなければならなくて、左辺のランクが１、右辺のランクが２より
ランクの定理から
　　　｜cosθ H｜
　　　｜　　　　｜ ＝　０　・・・・・・・・・・（＊）
　　　｜sinθ V｜　　　　　
であることが必要かつ十分だそうなんです。ここまではバッチリなんですが
問題は次なんです。

（＊）ということは、つまりＴをある任意の大きさの外力として
　　　｜H｜　　　　｜cosθ｜
　　　｜　｜＝Ｔ×｜　　　｜ ・・・・・・・・・（＊＊）
　　　｜V｜　　　　｜sinθ　｜
でなければならない。
とあるんですが、これはどうしてなんですか？

解答には、
『（＊）の行列の対１列は0ベクトルでない。全体のランクが１以下であるためには、第２列の縦ベクトルは第１列に対し１次従属でなければならない。したがって（＊＊）が成立する。』

とあるんですが、なんで０ベクトルでないのか？、（＊＊）が言えるとなんで１次従属なのか？よく分かりません。また、

『（＊）を Ｈ、Ｖに関する斉次連立方程式の一般解としても、（＊＊）が求められる。』

とも書いてあるんですが、その解法がよく分かりません。

特に斉次連立１次方程式による解法の方を理解したいです。指導よろしくお願いします。

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

縦でなく横ベクトルで書きますが, 読み替えて下さい.
ベクトル→a=(cosθ, sinθ) は絶対値(大きさ)が|→a|=√{(cosθ)^2 +(sinθ)^2}=1(≠0)です.
また→u=(H,V) として，（＊＊）<==> →u=T(→a) なので，大ざっぱに言って→uと→aは(広義の)平行ですからまさに１次従属です．

正確に言っても →u－T(→a)＝→０（ゼロベクトル）で, p(→u)+q(→a)＝→０ について (p,q)=(1,-T)≠(0,0) なる自明でない実数の組(p,q)が存在する，これは１次従属の定義どおりです．