連立微分方程式の問題で、大学の先生の説明と、定理を使った場合との答えの比較

質問

連立線形微分方程式の問題です。
大学で火曜日に試験があって、勉強はしているのですが、
講義がすごく分かりにくく、教科書もこの講義をしている教授が
執筆している、わかりにくいものですので、
わからないところが多々あり、困っています。
その中でも、どうしても気がかりなところがありますので、
長文になりますが、ご指導お願いいたします。

d/dx・x(t)＝A・x(t)
ただしA＝（9　 13）
　　　　　(-5　-7）
（↑x(t)は太字です。またAの行列が見にくくてすみません。）
の一般解を求めようと思うのですが、
講義での方法では以下のような答えとなります。

＊＊＊講義での答え＊＊＊
固有値が1±iとなるので、固有ベクトルu1が（ 8+i ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ -5 ）
これを（8）+i(1)＝a+ibとし、（a,bは太字表記です。）
　　　（5）　(0)　
最終的に与式の一般解は、
x(t)=c1・e^t・（costa-sintb）+c2・e^t（costb+sinta）（教科書）
x(t)=e^t（c1・cost+c2・sint）a＋e^t（-c1・sint+c2・cost）b（板書）

＊＊＊ここまで＊＊＊

とてつもなく長いので、計算過程は省かせていただいたのですが、
本当に見づらくて申し訳ありません。

講義の方法だと、いくら考えても解き方が分かりませんので、
ネットで調べて、下記ページを見つけました。
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/diffpub/node33.html

講義の方法を一旦諦め、このページの中の、定理3.1を用いて出した答えが以下のようになります。

＊＊＊定理3.1を用いた解き方＊＊＊
固有値が1±iとなるので、1+iに対する固有ベクトルu1が（ 8+i ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （ -5 ）
ここまでは講義と同じですが、定理を用いるので、a,bなどに分けません。
固有値1-iに対する固有ベクトルu2は（ 8-i ）
　　　　　　　　　　　　　　　　 （ -5 ）となります。

定理より、
x(t)=c1・（8+i）・e^（(1+i)t）+c2・（8-i）・e^((1-i)t)
　　　　 （5　）　　　　　　　　　 （5　）
としました。

＊＊＊ここまで＊＊＊

試験でまったく手がつけられないよりは、すこしでも埋めたいと思っているので、
この定理を用いようかと思うのですが、
回答の形が、教科書、板書ともに異なっているのが、すごく気になります。
オイラーの公式などを用いて、変形できるか確かめてみたのですが、
（変形できれば、もし×をつけられたときでも、後から抗議できますので。）
私の数学の力では、定理と教科書（あるいは板書）、相互での変形が
うまくいきません。

そこで、ご指導いただきたいのですが、
1.定理を用いて出した回答は、数学的に正しいのでしょうか？
2.定理を使って出した回答を教科書の式、あるいは板書の式に変形する方法をご教授いただけませんでしょうか？

見づらい上、長文を書いてしまい、申し訳ありません。
本当に困っていますので、ご指導いただけますとうれしいです。

お手数ですが、よろしくお願いいたします。

回答No.3

ojisan7 · ベストアンサー

こんにちは。

No2です。適当な教え方をしてごめんなさい。

No2の「一般解でe^(it)をcos(t)に、e^(-it)をsin(t)に書き換えるだけでよい。」は撤回します。ともかく、言いたいことは、一般解は虚数単位の含まれない形に表すことが大切だということです。

お詫びの意味で、「講義と、サイトの定理との関連性」の部分について補足します。
x(t)=c1(a+ib)e^[(1+i)t]+c2(a-bi)e^[(1-i)t]
の右辺を実数部分と虚数部分にまとめます。すると、
x(t)=(c1+c2)e^t(acost-bsint)+i(c1-c2)e^t(asint+bcost)
となりますが、右辺の(c1+c2)を改めてC1に、i(c1-c2)をC2に変換すれば良いです。こうすれば、板書と一致します。

講義で教えてくれている先生は、良い先生だと思いますよ。やはり、講義をしっかり聴くことが大切です。頑張って下さいね。

それでは。

お礼

ご丁寧にご指導いただきましてありがとうございました。
今日試験だったのですが、この考え方を使う問題は出ませんでした（笑
しかし考え方をご指導いただき、これを元に、なんとか自分なりに
答えを出せるところまでは行けたので、本当に助かりました。
ご指導いただき、ありがとうございました。

回答No.4

reiman

w^*をwの複素共役とする。
x'(t)=Ax(t)の解はx(t)=exp(At)x(0)
A=PΛP^-1とすると
x(t)=Pexp(Λt)P^-1x(0)...(1)
ただし
Λ=
[λ　０]
[０　λ^*]
λ:Aの固有値
P=[p p^*]
p:Aの固有値λに対応する固有2次元列ベクトル
(1)より
x(t)=(cp)exp(λt)+(cp)^*exp(λ^*t)...(2)
ただしcはP^-1x(0)の第1成分
(2)より
x(t)=2exp(αt)(ucos(βt)-vsin(βt))
ただし
uはcpの実部列ベクトル、vはcpの虚部列ベクトル

お礼

ご指導いただきまして、ありがとうございました。
参考にさせていただき、今日の試験に臨むことが出来ました。
ありがとうございました。

回答No.2

ojisan7

こんばんは。

最終的に示された与式の一般解は、教科書と板書でちょっと違うようですが、よく見ると同じですね。
感想ですが、a、bというベクトルを導入する講義の方法は非常にうまいやり方をしています。見習うべきだと思います。教授の教科書で充分のような気がします。

>1.定理を用いて出した回答は、数学的に正しいのでしょうか？
間違いではないですが、それではまだ不十分です。最終的に教科書や板書のように三角関数を使って虚数単位の含まれない形にする必要があります。

>2.定理を使って出した回答を教科書の式、あるいは板書の式に変形する方法をご教授いただけませんでしょうか？

結論を言えば、一般解でe^(it)をcos(t)に、e^(-it)をsin(t)に書き換えるだけでよい。（この理由はご自分で考えてください。）

尚、講義と、サイトの定理との関連性は、
x(t)=c1(a+ib)e^[(1+i)t]+c2(a-bi)e^[(1-i)t]
です。この式をsin,cosに書き換えれば、板書と一致するはずです。

回答No.1

Tacosan

2 だけ. といっても, オイラーの公式などで地道にバラすだけですが.