次元定理、直和に関する定理の証明にある表現

質問

工学部情報系の学科所属の大学3年生の者です。

線形代数を自学しているのですが、
次元定理、直和に関する定理の証明に私が理解できない表現が
あります。

定理（直和）
(1)Ｗ＝Ｗ_1＋Ｗ_2 の元は
　　u = u' + u"、u'∈Ｗ_1、u"∈Ｗ_2
　 の形に一意的に表わされる。
(2) dim(Ｗ_1＋Ｗ_2)＝ dim Ｗ_1 + dim Ｗ_2
(3) Ｗ_1∩Ｗ_2＝｛o｝　(零ベクトル)

証明（一部分）
(3)⇒(1)：u∈Ｗ に対して2通りの表示
　u = u' + u" = v' + v"、
　u' , v'∈Ｗ_1、　u" , v"∈Ｗ_2
があったとすれば、
　u'－v' ＝ v"－ u"
この等式の左辺は∈Ｗ_1、右辺は∈Ｗ_2、
したがって両辺ともに∈Ｗ_1∩Ｗ_2

証明の最後から2行目「この等式の左辺は∈Ｗ_1、右辺は∈Ｗ_2、」
は分るのですが、
それに続く「したがって両辺ともに∈Ｗ_1∩Ｗ_2」がよく理解でき
ません。

なぜ、そのように言えるのでしょうか？
長文で申し訳ないです。

回答No.1

koko_u_ · ベストアンサー

定理の内容がやや不明確ですが、(1)～(3)が同値であることを
言明しているのですね。

>それに続く「したがって両辺ともに∈Ｗ_1∩Ｗ_2」がよく理解でき
単純に、w = u' - v' = v'' - u'' なる元を考えれば、
w ∈ W_1 かつ w ∈ W_2 だから w ∈ W_1 ∩ W_2 = {0} ということ。

お礼

おっしゃる通り(1)～(3)が同値であることの証明です。
改めて見ると質問を端折りすぎてますね。
納得できました。ありがとうございます。