偏微分方程式の解き方

質問

以下の偏微分方程式の解き方（正規形に変換）を教えて下さい.
(1)Uxx + 4Uxy + 4Uyy = 0

(2)Uxx - 4Uxy + 3Uyy = 0

(3)4Uxx - Uyy = 0

<解答>
(1)U=x f(2x-y)+g(2x-y)
(2)U=f(3x+y)+g(x+y)
(3)U=f(x+2y)+g(x-2y)

いずれの方程式もv=x+py, w=x+qyとおき
U(x,y)=U((qv-pw)/(q-p), -(v-w)/(q-p))=U(v,w)とし,
Ux, Uxy, Uyyｗ求めて元の方程式に代入して解こうとしましたが
うまくいきません.
よろしくお願いします。

回答No.1

transcendental · ベストアンサー

Xの２次方程式
a・X＾２＋ｂ・X＋ｃ＝０　が二重解αをもつとき、
a・∂＾２ｆ/∂ｘ＾２＋ｂ・∂＾２ｆ/∂ｘ∂ｙ＋ｃ・∂＾２ｆ/∂ｙ＾２＝０
を解くには、
u＝α・ｘ＋ｙ、ｖ＝ｘ　とおきます。

ｚ＝U（u、ｖ）とする。
∂＾２U/∂ｘ＾２＋４・∂＾２U/∂ｘ∂ｙ＋４∂＾U/∂ｙ＾２＝０・・・（＊）　において、
u＝－２ｘ＋ｙ、ｖ＝ｘ　とおいて計算すると、
∂＾２ｚ/∂ｘ＾２＝４・∂＾２U/∂u＾２ー４・∂＾２U/∂u∂ｖ＋∂＾２U/∂ｖ＾２、
∂＾２ｚ/∂ｘ∂ｙ＝ー２・∂＾２U/∂u＾２＋∂＾２U/∂u∂ｖ、
∂＾２ｚ/∂ｙ＾２＝∂＾２U/∂u＾２．
を得ますから（＊）に代入して整理すると、∂＾２U/∂ｖ＾２＝０となります。これを解いて、
まず、∂U/∂ｖ＝A（u）、さらにｖで積分して、U＝ｖ・A（u）＋B（u）
となります。（A、Bはuの任意の関数）

（２）、（３）も同様です。
（２）では、u＝３ｘ＋ｙ、ｖ＝ｘ＋ｙ、（３）では、u＝（１/２）ｘ＋ｙ、ｖ＝（－１/２）ｘ＋ｙとおきます。

お礼

解き方が理解出来ました。
ありがとうございます。