厚さが一様でない平板のたわみについて

質問

厚さ一定の平板が分布荷重pをうける場合のたわみwに関する微分方程式は

(d^4)w/(dx^4)+2・(d^4)w/(dx^2・dy^2)+(d^4)w/(dy^4)=p/D

となりますが, 厚さが一定でない（凸凹であったり階段状であったりする）場合はどうなるのでしょうか.
2方向(x,y)から3方向(x,y,z)へと拡張することで一般的な式となるのでしょうか.
それとも形状毎に異なる式を導出する必要があるのでしょうか.

当方, 構造力学は専門外でいくつか文献をあたってみましたが答えを得られませんでした.
どなたかご存知の方は教えて頂きたいので宜しくお願いします.

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

板剛度Ｄの定義はご存知でしょうか？。Ｄは、板の厚み，ヤング率，ポアソン比で決まります。簡単に言うと、こうなります。

　板の微小領域で考えた場合、板剛度Ｄは一定として良い。このとき、

　　ＤΔ^2ｗ＝ρ → Δ^2(Ｄｗ)＝ρ（Ｄが一定だから）．

とできる。
　上式は、質問文の微分方程式のＤを移項し、微分演算を省略した書き方です。Δはラプラシアンと言われ、Δ＝(∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2 で定義されます（偏微分なので、d ではなく、∂を使うべきです）。Δ^2f＝ρ には、重調和方程式という名前があります。
（以上、大きなお世話です）

　で、「→」の後の式ですが、これは微小領域であろうと、広かろうがいつでも使えるだろう、となります。何故なら、変化するＤも微分演算の中に入ったので、変化するＤにも対応できるはずだ、という訳です。

　曲げ剛度が一定でない梁の曲げの微分方程式が、

　　(d/dx)^4(ＥＩｗ)＝ρ

となるのと同じです。