フーリエ変換

質問

次の問題を解きたいのですが、どうやればいいのでしょうか？
図の波形を＋Aづつ足せば、計算が楽になるかと思ったのですが、積分計算に影響あるのでしょうか。よろしくお願いします。

次の波形s(t)のフーリエ変換を計算し、|S(w)| (wは角周波数)を求めよ。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

#3です。

A#3の補足質問について

g(t)=s(t)+Aは孤立矩形波なのでそのフーリエ変換は連続スペクトル|F(g(t))(w)|になります。
そして
h(t)=Aの直流分は、δ関数であらわされる輝線スペクトルが角周波数w=0の位置に現れます。
F(g(t))の連続スペクトルに重ねて、F(h(t))=2πAδ(w)の輝線スペクトルを描けばいいでしょう。つまり振幅∞、幅ゼロ、面積2πAのスペクトル図形を描いておきます。
実際は∞の振幅は描けませんから、図形としては一定の高さの縦線を描いて、その縦線のそばに2πAδ(w)とでも書いておけばいいかと思います。

お礼

解決しました。ありがとうございます。

回答No.3

info22_

>次の問題を解きたいのですが、どうやればいいのでしょうか？

#2さんが回答されているように
直流分Aだけ加えて

g(t)=s(t)+A
とすれば
A分だけ引いてやればいいです。
つまり

S(w)=∫[-∞,∞] s(t)exp(-iwt)dt
=∫[-∞,∞] {(s(t)+A)-A}exp(-iwt)dt
=∫[-∞,∞] {g(t)-A}exp(-iwt)dt
=∫[-∞,∞] g(t)exp(-iwt)dt-∫[-∞,∞] A*exp(-iwt)dt
=∫[-T,T] 2A exp(-iwt)dt-A∫[-∞,∞] exp(-iwt)dt
=2A∫[-T,T] exp(-iwt)dt-A∫[-∞,∞] exp(-iwt)dt
=(8A/w)sin(wT)-2πAδ(w)

>図の波形を＋Aづつ足せば、計算が楽になるかと思ったのですが、積分計算に影響あるのでしょう

以上のように計算が楽になりますね。
差し引く直流分「-A」の影響は

-∫[-∞,∞] A*exp(-iwt)dt=-2πAδ(w)

の項になります。
δ(w)は参考URLのディラックのデルタ関数(Dirac delta function)です。

参考URL：

http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function

補足

わかりやすく教えてくれてありがとうございます。
もう一つ質問ですが、
S(w)の概形を図示せよ　という問題が出たとき、
(8A/w)sin(wT)部分はsinc関数の様な図形になると思われるのですが、
2πAδ(w)を引くということは、図形にどのような影響をもたらすのでしょうか？

回答No.2

foobar

フーリエ変換は線形なのでF[s(t)+A]=F[s(t)]+F[A]が成り立ち、F[s(t)]=F[s(t)+A]-F[A]として計算することもできます。

回答No.1

Tacosan

「図の波形を＋Aづつ足せば」というのは多分全部一斉に +A だけ持ち上げることをいっているんだろうけど, そうすると DC 成分が変わるね.

変わることをわかってあとで補正すればいいんだけど.