数学の過去問について

質問

下の問題
http://www.ees.hokudai.ac.jp/division/kigaku/nyushi/200602_togo_senmon.pdf
の３ページなのですが・・・
以前、丸投げの状態で聞いたので、削除されてしまったので、もう一度いろいろと考えて見たのですが、どうしても解けませんでした。
（１）については、
∂ｒ/∂x=cosθ、∂ｒ/∂ｙ＝sinθ
∂θ/∂x=-sinθ/r、∂ｒ/∂ｙ＝cosθ/r
とは解けたのですが・・・。
（２）については、注釈のＥθとＥθの式から、
i＝Er・ｃosθ－Eθ・sinθ　
j＝Er・sinθ－Eθ・cosθ
としておいて、証明すべき式の右辺に代入して
解くのかなと考えたのですが、その先が進みません
でした。この問題ができたら高得点になると思うので
宜しくお願いします。

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

分配法則によります。
（aをスカラー、x,yをベクトルとすると、a(x+y)=ax+ayが成り立つ。
また、a,b,cをスカラーとしても、a(b+c)=ab+acが成り立つ。
関数の部分をスカラーと見て計算を進める。）

(∂U/∂x)i
={(∂U/∂r)(∂r/∂x)+(∂U/∂θ)(∂θ/∂x)}i
={(∂U/∂r)cosθ+(∂U/∂θ)(-sinθ/r)}(cosθ・er-sinθ・eθ)
={(∂U/∂r)cosθ+(∂U/∂θ)(-sinθ/r)}cosθ・er
+{(∂U/∂r)cosθ+(∂U/∂θ)(-sinθ/r)}(-sinθ・eθ)
=(∂U/∂r)(cosθ)^2・er+(∂U/∂θ)(-sinθcosθ/r)・er
+(∂U/∂r)(-cosθsinθ)・eθ+(∂U/∂θ)(sinθ)^2/r・eθ

同じように、
(∂U/∂y)j
=(∂U/∂r)(sinθ)^2・er+(∂U/∂θ)(sinθcosθ/r)・er
+(∂U/∂r)(cosθsinθ)・eθ+(∂U/∂θ)(cosθ)^2/r・eθ

二つ足すと、(cosθ)^2+(sinθ)^2=1と、sinθcosθのところがプラス
マイナスで消えるので、
(∂U/∂x)i+(∂U/∂y)j=(∂U/∂r)er+(∂U/∂θ)/r・eθ

画面だと見にくいので、打ち間違いがあるかも知れないので、ぜひ
ご自分でお確かめを。

回答No.1

zk43

i=cosθ・er-sinθ・eθ
j=sinθ・er+cosθ・eθ
です。
U=U(r(x,y),θ(x,y))と考えて、合成関数の微分法により、
∂U/∂x=(∂U/∂r)(∂r/∂x)+(∂U/∂θ)(∂θ/∂x)
∂U/∂y=(∂U/∂r)(∂r/∂y)+(∂U/∂θ)(∂θ/∂y)
後は∂U/∂x・i+∂U/∂y・jに、
i=cosθ・er-sinθ・eθ、j=sinθ・er+cosθ・eθ
と、(1)で得られたものを代入して展開すれば結果が得られます。

補足

返答ありがとうございます。
∂U/∂x、∂U/∂yの変換の計算は知っては
いたのですが、iとjに関する式を代入した後は
具体的にどう計算していくのでしょうか？
教えてください。お願いします。