基数変換（10進数→2進数）の公式を理解したい

質問

変な質問かもしれませんが、おつきあいくだされば幸いです。
表題の公式
10進数を2で割ってその余りが「０」か「１」かを求める。
最後の商を先頭に、それを下から並べる。

上記が「そうなる」ことは「実際の計算」で検証できましたが、
なぜその公式が成り立つか、について理解できません。
それ以上の追跡は、試験の趣旨から外れるかもしれませんが、気になります。
例：10→1010
ア）10/2→5あまり0
イ）5/2→2あまり1
ウ）2/2→1あまり0

＜クエスチョン＞
ア、イ、ウのあまり　が、2進数の重み（0乗、1乗、2乗）にそれぞれ対応する根拠です。
なにかしら裏で計算されつくした結果、公式ができたのでしょうか。
前からとても気になっています。

おつきあいくださる方のご返答お待ちしております。
よろしくお願いします。

回答No.3

jjon-com · ベストアンサー

÷２ の商は ２の1乗（＝２）が含まれることを
÷２÷２ の商は ２の2乗（＝４）が含まれることを
÷２÷２÷２ の商は ２の3乗（＝８）が含まれることを
それぞれ表しています。

（以下の説明では「２の0乗＝１」だと知っている必要があります。２に限らずどんな数でも0乗は１になるのですが）

よって質問文にある次の３つの式は，
10÷２＝５あまり０
５÷２＝２あまり１
２÷２＝１あまり０

次の３つの文を表しているのです。
「２の0乗が10個」とは「２の1乗が５個」と「２の0乗が０個」ということ。
「２の1乗が５個」とは「２の2乗が２個」と「２の1乗が１個」ということ。
「２の2乗が２個」とは「２の3乗が１個」と「２の2乗が０個」ということ。

この文の最後の商を先頭に余りを下から並べると次のようになります。
「２の0乗が10個」とは，
「２の3乗が１個」＋「２の2乗が０個」＋「２の1乗が１個」＋「２の0乗が０個」
つまり，(１０)10 ＝ (１０１０)2 ということです。

以上，回答＃１と同じことなのですが，字数を費やして書いてみました（＾＾；

お礼

とてもわかりやすい解説ありがとうございました。ロジカルな思考訓練が不十分でした。。

回答No.2

kigoshi

この解法は２進数に限った方法ではありません。７進数でも５進数でも割っていった余りを逆から読むとその進法での数字表記になります。
これは１０進数でも同じことで、１０進数でやってみる、つまり１０進数→１０進数の変換をやってみると案外すんなり分かるのではないでしょうか。

例）365
365÷10＝36　あまり　5
36÷10＝3　あまり　6
3÷10＝0　あまり　3
下から読むと365になります。

これと同じことを２進数でやっているわけです。

参考になれば幸いです。

お礼

ありがとうございます。二進数から10進数ですね。わかりやすいです。頭の中が固くなっていました。

回答No.1

ken_pe66

2の乗数の意味わかりますかね？何回２で割っているのでしょうか？
元の数字に戻すときも何回２をかけたのでしょうか？
そうすると意味がわかるのでは。積と商の関係を見直してみては？
１０を２で1回割る
商は５であまりは０
５を二度目の２で割る商２あまりは１
２を三度目の２で割る商０あまりは０
１０＝２の３乗＋２の１乗だよね
＝２を三度掛けたもと＋２を1回掛けたもの

参考まで

お礼

ありがとうございます。少し冷静に考えたらなるほど、と納得できました。