平方について

質問

平方について疑問があるので教えてくだださい

負の数の平方根はなぜ負ではないのですか？

√121は±11ではないのですか？

回答No.15

麻野 なぎ（@AsanoNagi） · ベストアンサー

ここの議論はからは外れますが。
「平方」という単語は、それ自体が自乗するという意味です。
ですから、平方根というのは、平方する（自乗する）とその数になる答。
ですから、「平方について疑問がある」というのは、ちょっと質問の内容と合わなくなってしまいます。
むやみに言葉を略さないことをおすすめします。

ちなみに、√ という記号自体は、（一般に n 乗根を含めて）「根号」と呼びます。

Wikipedia の立場では、
１） √121 は、11 というただひとつの値を意味する
２） ただし、平方して 121 になる（この場合はふたつのうちの）どちらかひとつのみを（どちらとは特定せずに）示す使い方もある。
√-1 という表記は（２）の具体例

ということのようです。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/冪根

お礼

みなさん、いろいろと親身になって考えてくれてどうもありがとうございます。
いろいろな考えがあるんだということが分かりました

回答No.14

guuman

√z＝√r(isin(θ/2)＋cos(θ/2))
は2つであることを示しているわからないのは修行が甘いとしか言いようがありません
以下書き方は厳密には間違っているが誤解を解消できるならば
ｉ＝cos（π/2）＋i・sin（π/2）＝cos（5・π/2）＋i・sin（5・π/2）
√ｉ＝cos（π/4）＋i・sin（π/4）＝cos（5・π/4）＋i・sin（5・π/4）
√ｉ＝(1+i)/√2=-(1+i)/√2
√iは(1+i)/√2なのでしょうか-(1+i)/√2なのでしょうか?
区別方法は存在しないのです

複素関数論を勉強したまえ

回答No.13

Ichitsubo

中学生相手だと、「定義だから」「ルールだから」で十分ではないでしょうか。

以下、√xは正のもののみを表すことを説明する文章です。小証拠難しいかもしれません。
√z＝√r(isin(θ/2)＋cos(θ/2))
がどう破綻しているのか具体的に説明してもらいたいものです。
それに実数xに対して、√xが二値を取るとすると、
√xを積分したときに非常におかしなことが起こるような気がします。

Quattro99さんの指摘は実に的確です。
-1の平方根には2つあるけれど、どっちか片方をi＝√(-1)と定義し、もう片方を-iとしているのです。

また、正の数a、実数xに対してy＝a^xのグラフを書くと、いかなるxに対してもy＞0となります。a^(1/2)＝√aなので、√aが負数でもよいとすると実数においてすら破綻してしまいます。

回答No.12

guuman

Ichitsuboさんは
複素数というものを高校の定義でしか理解していないようです
この定義は「定義まがい」であって定義になっていません
高木定時の解析概論の付録を読んでもらいたいものです
√ｉと-√ｉ
を区別する方法が有るというのならば教えてもらいたいものです
順序がつけられない複素数をどう区別するのでしょうか？

回答No.11

Quattro99

すみません。書き忘れました。

> √121は√が付いてるから自然数の正なので１１
自然数とは限りません。単に「正なので」でよいと思います。

また、√の中が負の数の時、√(-1)=iと定義しているはずです。-iも二乗すると-1となりますから、-1の平方根にはiと-iの二つがありますが、どちらも正の数ではなく、√(-1)をいったいどちらにするべきかという問題が生じますし、そもそもiは一意に決まらないものですが（-1の平方根には二つあり、そのどちらをiにするのかを定める方法がない）、どちらかを決めないまま片方をi、もう片方を-iと考えるというもののようです。このように考えることで、√(-1)=iと定義しているはずで、√(-1)=±iではありません。

回答No.10

Ichitsubo

√(-5)^2＝5です。
先ほどの私の回答中の√(x^2)＝|x|のxに-5を代入してください。

guumanさんは思い違いをされているようです。
複素数zに対しては、極形式z＝r(isinθ+cosθ)
を用いて、
√z＝√r(isin(θ/2)＋cos(θ/2))
です。
よって
√i＝+(1+i)/√2
と一意に決められます。

またx^2-i＝0の解は
x＝±√iと言ってよいでしょう。

「√の値が2つある」というのは幻想というか勝手な思い違いです。必ず一つです。

補足

もし中学生に教えるならどのように教えればいいでしょうか？

回答No.9

Quattro99

> 121は　（-11)＾2と　(11)＾2の２つがあるので±11と考えるのですか？
「121は」ではなく「121の平方根は」です。

回答No.8

guuman

実数の範囲という注釈ならば１１でもいいでしょうが
その注釈がないならば±１１にしなければなりません
たとえば
x^2-i=0
の答を
±√i
と書くのは間違いです
√ｉは既に２つですから！
またこれを
±(1+i)/√2
とかくのも間違いです
複素数の範囲であるのは明白だから
√2は2つを示しているのですから
だから
(1+i)/√2
とだけかくか
-(1+i)/√2
とだけかくかのどちらかです
決して
±(1+i)/√2
と書いてはなりません
そう書きたかったら
「ただし√2は正のほうだけをとる」
とかの注意書きが必要です

回答No.7

Quattro99

√121=11で間違いありません。±11は誤りです。下記に解説があります。

二次方程式の解の公式を思い出してみて下さい。「±√」という部分が出てきます。それは、ある数aの平方根に√aと-√aの二つがあるからで、√自体に±の意味合いがあるのならそのような書き方をする必要がないはずです。

> 例えば√(-5)＾2は√内が－ですが
√(-5)＾2の√内である(-5)＾2は＋です。-5が負の数であることはまったく関係がありません。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9

補足

√121は√が付いてるから自然数の正なので１１

121は　（-11)＾2と　(11)＾2の２つがあるので
±11と考えるのですか？

回答No.6

Ichitsubo

√121＝11
のみが正解です。

一般的に、実数xに対して、
　√(x^2)＝|x|
です。

"√"と言う記号は、「平方根を計算せよ」と言う意味の記号ではなく、「平方根のうち正の数」と言う意味の記号です。
結構皆さん勝手な解釈で、±11だと平気で言ってしまうのですが、定義が「平方根のうち正の数」である以上、
√121＝-11は誤りであると言うしかありません。

実数a,xの方程式
x^2＝a
の解はx＝±√aと表します。

回答No.5

yuu111

＞負の数の平方根はなぜ負ではないのですか？
教科書で、「平方根」とはなにか確認してください
そして、例と整合させて納得いくまで考えてみてください

＞√121は±11ではないのですか？
はい。
例えば、「121」は+ですか、-ですか、それとも±ですか？

補足

±12ですか？
理由は
x＾2=a
12＾2=121
12＾2=121
(-12)＾2=121だから
合ってますか？