円錐の容積について

質問

半径αの円から、容積が最大となる円錐容器を作るために、角度が何度扇形を作ればよいのでしょうか？
微分を利用するということはわかるのですが、そこからがよくわかりません。
できれば、途中の式も教えてもらえれば助かります。よろしくお願いします。

回答No.5

noname#231526

これは解き方を工夫しないとけっこうややこしい式になってしまいます。
過去に一度解いているので、それを参照してください。
http://okwave.jp/qa2100320.html

参考URL：

http://okwave.jp/qa2100320.html

回答No.4

debut

円錐の底面の円の半径をｒとすれば、
高さは√(a^2-r^2)なので、体積Ｖは
Ｖ＝{πr^2√(a^2-r^2)}/3
Ｖをｒの関数と見て微分して、0<r<aで
Ｖが最大になるrの値をみつけます。
もとの扇形の中心角をｘ度とすれば、
底面の円の円周は２πａ(ｘ/360)・・(1)
一方、底面の円の半径はｒだったので
円周は２πｒ・・(2)
(1)=(2)なので、ｘ＝360r/a
ここに、さっきのｒの値を入れれば求められます。

お礼

夜遅くにわざわざ回答してくださってありがとうございます。
さっそく試してみます。

回答No.3

koko_u_

問題が要領を得ないけど、zap35 さんの図で言うところの AC が一定値 α ということかい？
(つまり半径αの円を扇形に切り抜いて、メガホンのようにくるくる巻いて円錐を作ると)

補足

つまり半径αの円を扇形に切り抜いて、メガホンのようにくるくる巻いて円錐を作ると
↑
はい。まったくその通りです。
与えられた条件が、「最初に半径αの円があること」「容積が最大となる円錐容器を作ること」「円を角度θの扇形にすること」「微分積分をできるだけ利用すること」です。

回答No.2

wakattatsu

この問題と類似の入試問題を最近見たことがあります...
探せばスマートな形でまとまっていると思います。

扇形の半径をα、拡がった角度をＲ度とします。

円錐の底部の円周＝
２πα・Ｒ/360

底部の半径をｒとおく
ｒ＝α・Ｒ/360

円錐の高さｈは
ｈ＝α・√(1-(Ｒ/360)^2)

円錐の底面積
πr^2＝π(Ｒ/360)^2・α^2

体積は
1/3・π(Ｒ/360)^2・α^2・α・√(1-(Ｒ/360)^2)

整理して
1/3・α^3・π(Ｒ/360)^2・√(1-(Ｒ/360)^2)

これを最大にするＲを求めたらいいのではないでしょうか？
式の変形、自信がありません。

お礼

とても見やすくて丁寧な回答ありがとうございます。

回答No.1

zap35

Ａ
　　　　∧
　　　／｜
　　／　｜
　／　　｜
∠－－－
Ｃ　　　Ｂ
形は崩れると思いますがご勘弁を…

円錐の体積はＢＣを半径とする円の面積×高さ（＝線分ＡＢ）÷３ですね。半径αが線分ＢＣに相当します。

円錐の体積が最大にするためには∠ＡＣＢが９０°に限りなく近いほうが△ＡＢＣ三角形の面積が大きくなります。＝円錐の体積も大きくなります。（極限値は円柱の体積になります）

これは微分ではなく積分の問題ですね。

お礼

とても早い回答ありがとうございます。
積分の問題であることはわかりますが、条件に微分を使うようにとあったので、よくわからなかったんです。