円錐と球の体積

質問

球Aは底面の半径が６、母線の長さが１０の円錐の容器にぴったりとおさまる。
（１）球Aの体積を求めよ。
（２）この円錐の容器に水を満たしてから、球を静かに入れたとき容器内に残っている水の体積を求めよ。

高校一年生なのですが、全く分かりません。
よろしくお願いします。

回答No.1

pasocom · ベストアンサー

球の体積は半径さえわかればいいのです。
＞球Aは底面の半径が６、母線の長さが１０の円錐の容器にぴったりとおさまる。
とは図のような状態です。球が円錐に対して点Ｂで底面に接し、点Ｄで側面に接しています。
球の半径をrとすると、三角形AOBと三角形AODは両方とも直角三角形であり、かつ辺OBと辺ODが等しくて、辺AOを共有しているので「合同＝同じ図形」であることがわかります。よって辺AD＝6　であることがわかります。
一方、辺AB＝6、辺AC＝10ということから三角形ABCの高さに当たる辺BC＝8　であることも計算できます。
以上から三角形DOCに着目すると
4^2＋r^2＝（8-r）^2　という式が導かれますね。これを解けばｒがわかります。
(2)は円錐の体積から球の体積を引いた残りという意味です。

お礼

図付で回答して下さり、とてもよく理解できました。
ありがとうございます。