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円錐の体積

展開図があって、底の円の半径が9cm、扇型の部分の頂点の角度が120度。 高さについての記述はないのですが、これだけで、体積を求めることはできますか? 円周率はパイで計算です。 求められる場合は計算式も教えてください。 体積計算なんて、現役以降したことがないので、簡単に教えていただけるとありがたいです。 よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

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  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (2127/6289)
回答No.10

>違う回答がでてきているのですが・・・ πに値を当てはめて計算しているだけでありましょう。 (486√2)π ≒ 2159です。

ht218
質問者

お礼

ありがとうございます。 いち早く、正解を(私には知識がないので、複数、同じ解答があったことから、正解と判断するのが妥当だと思いました)いただいたうえに、何度も、ご回答をいただきました。 皆様の代表として、ベストアンサーにさせていただきます。

その他の回答 (10)

  • Knotopolog
  • ベストアンサー率50% (564/1107)
回答No.11

質問者さんへ No.10さんの仰る通りです. 私の回答は間違っていないと思います.

  • Knotopolog
  • ベストアンサー率50% (564/1107)
回答No.9

円錐の体積は, [円錐の体積]=(π/3)[円錐の高さ][底面の半径]^2 で計算されます.つまり, V=(πhr^2)/3 ★ V:円錐の体積 ★  h:円錐の高さ ★  r:底面の半径 ★ π:円周率( 3.14159・・・) です.底面の半径 r は,9cmですが,円錐の高さが分からないので,計算で求めなければなりません. 扇型の中心角が120度なので,これをラジアンの単位になおすと, θ=2π/3 (ラジアン) つまり,120(度)=2π/3(ラジアン)です. 扇形の円弧(曲線部分)の長さを L とし,扇形の半径を R とすると, L=Rθ の関係があります.扇形の円弧の長さ L は,円錐の底面の半径が,9cmですから, L=2π・9cm=18πcm(=56.54862cm)です. したがって,θ=2π/3 と L=Rθ と L=18π を使って, 扇形の半径を R は, R=L/θ=18π/(2π/3)=18*3π/(2π)=9*3π/π=27 R=27(cm) と求まります.次に,円錐の高さ h は, h=√(R^2 -9^2)=√(27^2 -9^2)=√(729-81)=√(648)=25.45584 h=25.45584(cm) です.この h=25.456 と,r=9 を用いて,円錐の体積Vを計算すると, V=(πhr^2)/3 =(3.142 * 25.456 * 9^2)/3 =2159.53 V=2159.53(cm^3) となります.したがって,円錐の体積は,約2159.5立方センチとなります. 因みに,これは,一辺が,約12.9センチの立方体に相当します. ご参考までに,扇型と円錐の資料を下に貼り付けておきました. 扇型 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%89%87%E5%9E%8B 円錐 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E9%8C%90 以上です.

ht218
質問者

お礼

ありがとうございます。 他の方と、回答が違うので悩んでいるのですが・・・

  • j-mayol
  • ベストアンサー率44% (240/540)
回答No.8

失礼しました。 9^2と書いておきながら2乗しておりませんね。 指摘くださった方の解答が正しいです。

ht218
質問者

お礼

ありがとうございます。

ht218
質問者

補足

他に違う回答がでてきているのですが・・・

回答No.7

補足 こたえは486√2πですね。皆さんのやり方もあっていますが、最後の計算が間違っています。 注意してくださいね。 念のため再度書かせていただきました!!

  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (2127/6289)
回答No.6

>質問者さん #1さん、#4さんは体積の計算が間違っているので、 ご注意ください。

回答No.5

まず扇形の半径を求めます。底面の円と扇形の弧の長さは同じですよね。これを利用します。 すると円周の長さは2×9×π、扇形の弧の長さは扇形の半径を r とすると2×r×π×120/360となりますよね。 これが同じなので2×9×π=2×r×π×120/360となります。するとr=27となります。 あとは円錐の高さを三平方の定理で求めます。(立体でかんがえてください)高さをhとすると 27の2乗=9の2乗+hの2乗 でh=18√2になります。あとは底面の面積×高さ×1/3、つまり9×9×π×18√2×1/3=486√2π でいいと思います!!

ht218
質問者

お礼

ありがとうございます。

ht218
質問者

補足

違う回答がでてきているのですが・・・

  • j-mayol
  • ベストアンサー率44% (240/540)
回答No.4

円錐の底面と側面において次の関係が成り立つ。 母線(側面の扇形の半径):底面の半径=360:(側面の扇形の中心角) したがって母線をxとすると x:9=360:120 となり x=27 次に円錐の母線と底面の半径、円錐の高さの3本の直線で直角三角形ができているので ここで三平方の定理を用いて 円錐の高さ=√(母線)^2-(底面の半径)^2        =√(27^2-9^2) =18√2 最後に円錐の体積計算に当てはめて 9^2π×18√2×1/3=81√2π

  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (2127/6289)
回答No.3

>(1/3)*π*9^2*18√2=54√2π[cm2] 9を2乗してないような気がする。 また、体積の単位が平方センチメートルというのはおかしい。

  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (2127/6289)
回答No.2

底の円の周囲と、扇形の弧の部分の長さは等しい。 底の円の周囲 = 9 × 2 × π = 18π 扇形の半径をrとすると、2πr × 120/360 = 18πより、r = 27 円錐を真横から見たときの図は、底辺 = 18、斜めの辺 = 27の二等辺三角形 この二等辺三角形の半分に三平方の定理を適用する。 二等辺三角形の高さをhとすると、hは円錐の高さのことである。 9^2 + h^2 = 27^2 h^2 = 648 h = 18√2 よって、求める体積は、9^2 × π × 18√2 ÷ 3 = (486√2)π立方センチメートル

ht218
質問者

お礼

ありがとうございます。

ht218
質問者

補足

違う回答がでてきているのですが・・・

  • Mathmi
  • ベストアンサー率46% (54/115)
回答No.1

底の円の半径が9cmなので、円の円周の長さ=扇型の弧の長さは2πr=18π[cm]です。 扇型の弧の長さが18πなので、扇型の半径=円錐の母線は2πr*(120/360)=18π→r=27[cm]です。 母線が27、底の半径が9なので、三平方の定理から高さhは18√2[cm]と求まります。 後は公式(1/3)πr^2hより (1/3)*π*9^2*18√2=54√2π[cm2] と求まります。