円は直線と似ているのでしょうか

質問

線分と直線の違いは直線のほうは終わりがないというところかと思いましたが、円のような閉鎖している線は直線と何か共通点があるのでしょうか。

回答No.8

y_akkie · ベストアンサー

#3,4,5です。フラクタル・カオスについては、大学で少々学んだ経験があります。ただし、本格的には学んでいないので（殆ど独学なので…）、拙い説明になってしまいますし、あまり自信はありませんが、参考程度にお願いします。

さて、結論から言えば、円と直線の場合はフラクタルではありません。
フラクタルの図形の特徴は、自己相似系の図形によって構成されている事が主とされていますが、それは必要十分条件でないと考える者もいます。
すなわち、「自己相似系であればフラクタルであるというわけではない」との見方もされているようです。
また、フラクタル図形におけるその他の主な決定要素としては、一般的には非整数次元になる事らしいです。1/aに縮小した自己相似部分がa^n個で構成されている場合、フラクタル次元によってn次元と定義されるわけですが、nの部分が非整数になるのが普通とされています。
ちなみに、円／直線もフラクタル次元における次元数は１であると証明できるようです。
（厳密には、位相次元とハウスドルフ次元とが一致しない事らしい？）
もう一つ、円を拡大していくと最終的には直線になる事からも、フラクタルの場合は無限に拡大しても自己相似な図形が現れるとされ、円はフラクタルではないとされています。また、フラクタル図形の場合は、いたるところで微分不可能な連続関数であるともされています。

お礼

たびたびしかもご丁寧にご教示いただきありがとうございます。残念ながら私の数学的能力では咀嚼できないのですが、自己相似というような概念は自分なりに勉強してみたいものです。

回答No.9

Ishiwara

初等数学では、考える必要はないと思います。
しかし、直線や円を含む図面を、ヘンなレンズを通したり、曲面の反射鏡に写して見たりすると、また新しい世界が見えてきます。最初の世界と鏡の中の世界では、１つの点が１つの点に対応しています。このような関係を「写像」といい、ここから新しい数学が出てきます。そのような世界の中では、円と直線は、実は兄弟だったりします。
まあ、将来いろいろな数学に出会えることを楽しみにして、目の前の課題を消化して行きましょう。

お礼

ご教示をなるほどと納得いたしました。円を１箇所で切ると線分になるので、それならば円は直線と同じものなのかと思ったのですが。

回答No.7

mis_take

円と直線の共通点を述べよ
と訊かれたら
ハンドルの向きを固定して車を動かしたときの軌跡である
という答えもありますね。
数学的に言うと「曲率が一定である」と。

お礼

ご教示ありがとうございます。曲率が一定のものは他には存在しないということですね。

回答No.6

toranekosan222

直線と直線に接する円を考えます。

接点Qと円の中心Oを結ぶ交点を点Pとします。

直線上の点Rと定義すると、QPとPRの角度をtとすると、
Rをtだけの関数で書くことが出来ます。tは-90°から90°まで
変化します。

つまりtで直線上の点を全て表すことができます。

直線PRと円の交点をSとします。
このSもtだけの関数で書くことが出来ます。

つまりtで円上の点を全て表すことが出来ます。

このような操作で直線上の点と円上の点が一対一の全射で結ばれる
事が出来ます。

円と直線が違うのは、円では異なる二つのtで同一の点を示しうるが、直線ではそうではないという所です。(t=-90,90）

補足

楕円を思い切り引き伸ばしたようなものを考えても一対一の全射というものが成立するのですか。

回答No.5

y_akkie

#3,4です。何度も申し訳ありません。
下記の内容を訂正致します。

＞曲線／直線を等分割して、常に各々が同一形状になるのは、直線と円くら＞いしかないと思います。

曲線／直線をどのように等分割しても、常に各々が同一形状になるのは、直線と円くらいしかないと思います。

等分割をして同じなる曲線は各々を結合すれば、いくらでも作れますね　；

お礼

何度もご丁寧に補足をいただきましてありがとうございます。両方ともフラクタルにも似ているのでしょうか。分割する点を限定すれば周期関数のグラフは仲間になるのかと思いました。

回答No.4

y_akkie

#3です。
一応補足しておきます。

曲線／直線を等分割して、常に各々が同一形状になるのは、直線と円くらいしかないと思います。

少なくとも、
放物線・双曲線・楕円・サインカーブなどあらゆる曲線において、このような性質は当てはまりませんし…。

回答No.3

y_akkie

共通点として思いつく事といえば、線を何等分かしてそれぞれが同じ形になっている事くらいですかね…。

お礼

おっしゃるような共通点があることを教えていただきありがとうございました。って

回答No.2

reachippatu

円も直線も、平面座標を２分します。
そういう意味では同類ですね。

お礼

同類と考えてよいと伺い安心いたしました。ありがとうございました。

回答No.1

N64

直線は、半径が無限に大きい円と考えることも、できそうですね。

お礼

早速御回答ありがとうございました。