円と直線（数学Ⅱ）

質問

座標平面において、原点を通る直線Lが、点（3, 2）を中心とする半径1の円と2つの異なる共有点P, Qをもつとする。
線分PQの長さが√2であるとき、Lの傾きを求めよ。

こちらの問題の解き方を教えてください。
何からやればいいのかわからず困っています。

回答No.1

maskoto · ベストアンサー

考え方の一例です
円の中心をC
PQの中点をМとする
三平方の定理が成り立ってるので
△PQCは直角二等辺三角形
ゆえに、CМはPQの垂直二等分線となり
△PМCも直角三角形
三平方の定理や三角比などを用いて
МC＝1/√2
これが、点Cと求めるべき直線の距離に相当する
そこで、点と直線の距離の公式を用いて
傾きを求めに行くことにする
求めるべき直線を
ax+by+c＝0とおくと
点と直線の距離の公式に当てはめて
(3a+2b+c)/√(a²+b²)＝1/√2…①
また、直線が原点を通るから
a・0+b・0+c＝0
↔c＝0…②
①②より
(3a+2b)/√(a²+b²)＝1/√2
↔√2・(3a+2b)＝√(a²+b²)
両辺２乗
2(9a²+12ab+4b²)＝a²+b²
↔17a²+24ab+7b²＝0
↔(17a＋7b)(a＋b)＝0
∴17a+7b＝0またはa+b＝0
すなわち
-a/b＝7/17または-a/b＝1
これが求めるべき傾きとなります
(∵ax+by＝0↔y＝(-a/b)x　)

お礼

ずっと悩んでいたのですっきりしました。 わかりやすくありがとうございました！

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