どの程度まで導けばよいのか？

質問

浪人生です。
現役時に数学は基礎が確立していないうちから応用に手を出して失敗したので
この春休みを使って教科書を流してやりつつ、基礎問題集を
解いています。
それで大体の定理や公式は自分で導けるようにしたほうがいいよなと
思ってそうしてるんですけど、さすがに点と直線の距離の公式とか
導くのはめんどくせぇと思ってしまいます。
どの程度まで導けるようにすれば問題ない、といいますか
基礎が身につくのでしょうか。お願します。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

>どの程度まで導けるようにすれば問題ない、といいますか
>基礎が身につくのでしょうか。お願します。

公式を自力で証明していくというのは
基礎を固める方法としてはよいと思いますが，
どこまでやればというような基準はないでしょう．
ぶっちゃた話，大学入試の範囲で
教科書にでているもので
本質的に証明が困難なものは
ほとんどありません．

いろいろ自分で導出できるようにやっているうちに
いつのまにか，コツがつかめているようになるものでしょう．
ただし，視点を変えないといけないものもあるので
複数の参考書やら受験数学雑誌なども役に立つかもしれません．
視点を変える例としては，三角関数の加法定理を
指数関数と複素数で示すのがありますね
＃反則技の e^{it} = cos(t) + i sin(t) を使うのですが
＃指数法則だけで加法定理関係は全部計算できますので
＃私は今でも加法定理関係はほとんど覚えてません(^^;;

>さすがに点と直線の距離の公式とか
>導くのはめんどくせぇと思ってしまいます。

これが面倒だと思っている段階では
おそらくベクトルの基礎ができていません．
あの公式はベクトルを使って
一瞬に出せるはずだから．
＃これも視点を変える例．座標計算でやってると確かに面倒

どうやって出すか？
直線の方程式は，法線ベクトル n と
座標平面上の一点 p を用いて
(x-p)・n=0
です．
このとき，任意の一点 q から
その直線までの距離を求めることにする．
q から直線までの垂線（を表すベクトル）は tn と表せる，
垂線の足は q+tn と表せ，
これが，(x-p)・n = 0 を満たすから
(q-p + tn)・n=0
t= ( (p-q)・n ) / |n|^2
よって，垂線を表すベクトルの長さ（すなわち垂線の長さ）は

|t||n|
=
|(p-q)・n|/|n|

これを成分で表示すれば，よくみる公式です．
またこの論法は空間での点と平面の距離でも全く同じです．
文章で書くと長いですが，絵を書いてみれば
すぐでてきます．

この公式は任意の点(a,b)でのf(x,y)の値f(a,b)が
f(x,y)=0 というグラフとどれくらい離れているか
という指標になることを意味しています．
値そのものでは不定性があるので，法線ベクトルの長さで
正規化すればよくて，直線の場合はまさに「距離」になることを
意味しています．

お礼

んん、ベクトルを使う方法もあるのですね！
私は確かに座標計算で証明しているものを見ました。
まだベクトルは勉強していないのでこれからやろうと思います。
詳しく説明してくださって助かりました。
ありがとうございます！

回答No.2

take_5

＞どの程度まで導けるようにすれば問題ない、といいますか
＞基礎が身につくのでしょうか。

何か勘違いをしているようです。
教科書に載っている定理や公式は、全て自分で導ける事が出発点です。
それを理解できなくて、入試問題の演習ばかりやってるのでは“砂上の楼閣”になります。
かって、東大で“加法定理”を証明する問題が出ましたが、予想通り出来はよくなかったそうです。

面倒がらずに、一つ一つ積み重ねていく事が遠回りに見えて、実は一番近道なのです。

お礼

やっぱりそうなんですよね。
基礎をおろそかにしたくないので、回答者様の
言うとおり面倒がらずに一つ一つ積み重ねていこうと思います。
ありがとうございました！