３で割り切れる数についての法則とその応用

質問

ある整数の各桁の数を足して３で割り切れる場合にはその整数も３で割り切れるようですが、この法則の応用例は何かありますか。

回答No.3

kkkk2222 · ベストアンサー

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＞１０進法だけで成り立つわけですか。そうすると、ｎ進法だと別の整数で成り立つとかそういうこともあるのでしょうか。

をよんで、冷や汗！

ちょっと信じきっていたので、
＞＞１０進構造内の成立ですので・・・と書いてしまいました。
は厳密には誤りなので、いくつか検証してみました。なおＮ進法表示だけでは計算が不明になるため、計算は１０進法で行います。

まず、ＰＣ全盛なので、実際に使用される、４、８、１６進法でやってみます。ただし全て３桁ですので、一般的にはもっと厳密な論証が必要のようです。

＃４　
４進法の場合（０≦Ａ、Ｂ、Ｃ≦３）
Ｐ＝Ａ＊１６＋Ｂ＊４＋Ｃ
＝（Ａ＊１５＋Ｂ＊３）＋（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）
これは、３の法則

＃８
８進法の場合（０≦Ａ、Ｂ、Ｃ≦７）
Ｐ＝Ａ＊６４＋Ｂ＊８＋Ｃ
＝（Ａ＊６３＋Ｂ＊７）＋（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）
これは、７についての法則

＃１６
１６進法の場合（０≦Ａ、Ｂ、Ｃ≦１５）
Ｐ＝Ａ＊２５６＋Ｂ＊１６＋Ｃ
＝（Ａ＊２５５＋Ｂ＊１５）＋（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）
これは、３、５、１５の法則・・・２５５＝３＊５＊１７

＃３２
３２進法の場合（０≦Ａ、Ｂ、Ｃ≦３１）
Ｐ＝Ａ＊１０２４＋Ｂ＊３２＋Ｃ
＝（Ａ＊１０２３＋Ｂ＊３１）＋（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）
これは３１の法則・・・・・・・１０２３＝３１＊３３

＃６４
６４進法の場合（０≦Ａ、Ｂ、Ｃ≦６３）
Ｐ＝Ａ＊４０９６＋Ｂ＊６４＋Ｃ
＝（Ａ＊４０９５＋Ｂ＊６３）＋（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）
これは、３、７、９、２１、６３の法則・・・４０９５＝３＊３＊５＊７＊１３

３の法則に関しては、４、１６、６４進法で成立しそうですので
このあと２５６、１０２４進法
４＾１、４＾２、４＾３、４＾５・・・４＾ｋ　で成立しそうですが当方の力量では無理です。

この時点で
＞＞１０進構造内の成立　は誤りでお詫びと訂正をいたします。
また、貴殿の推測
＞＞ｎ進法だと別の整数で成り立つ　　も的中しています。
また、かような結果が出ようとは夢にも思わず、勉強になった事を感謝します。

１０進法は別名２・５進法とも呼ばれますので、５進法２５進法を試みて締めたいと思います。
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＃５
５進法の場合（０≦Ａ、Ｂ、Ｃ≦４）
Ｐ＝Ａ＊２５＋Ｂ＊５＋Ｃ
＝（Ａ＊２４＋Ｂ＊４）＋（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）
２、４の法則

＃２５
２５進法の場合（０≦Ａ、Ｂ、Ｃ≦２４）
Ｐ＝Ａ＊６２５＋Ｂ＊２５＋Ｃ
＝（Ａ＊６２４＋Ｂ＊２４）＋（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）　　６４２＝２４＊２６
２、３、４、６、８、１２、２４の法則
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お礼

ご教示を拝読して何か大きな感動を覚えました。私も勉強させていただきます。ありがとうございました。

回答No.5

sanori

コメントありがとうございました。

＞＞＞御回答ありがとうございます。分かる方には当然というだけであまり神秘的ではないようです。勉強させていただきたいと思います。

いえいえー、そんなことないですよ。
私も最初、このことを知ったときは、神秘的だと思いました。
なぜそうなるのかということを自分で考えた過程は、さらに神秘的と感じたものです。
では、でーは。

回答No.4

sanori

約１年前に、他の質問へ私が回答した文章を、一部編集して引用します。

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実は、それより簡単なのが、
「各桁の数字の和が９の倍数ならば、９で割り切れる」
です。

１の位の数字をａ０、１０の位の数字をａ１、１００の位の数字をａ２・・・
と置けば、
元の数　＝　Σ（ａn×１０^n）
　＝　Σ（ａn）　＋　Σ｛ａn×（１０^n － １）｝
（ａnは、マイナスでない任意の整数）
（ｎ＝０～＋∞）

ところが、１０^n から１を引くと、必ず９だけが並んだ自然数（ただし、ｎ＝ゼロのときだけはゼロ）になります。
これは、必ず９で割り切れます。（商は、１が並んだ自然数になります。）

したがって、

元の数　＝　Σ（ａn）　＋　９の倍数

だから、各桁の数字の合計 Σ（ａn）も９で割り切れれば、

元の数　＝　９の倍数　＋　９の倍数
　　　　＝　９の倍数

となって、元の数も９で割り切れます。

Σ（ａn）が９で割り切れなくても、３で割り切れれば、

元の数　＝　Σ（ａn）　＋　９の倍数
　　　　＝　３の倍数　＋　３×（３の倍数）

だから、「９で割り切れる」の方を先に考えるほうが、順序として合理的で、かつ、簡単なんですよ。

ちょっと補足しておきます。

この問題は、１０進法なので、
「和が９の倍数なら、元の数も９の倍数」
「和が３の倍数なら、元の数も３の倍数」
になります。

９進法ですと
「和が８の倍数なら、元の数も８の倍数」
「和が４の倍数なら、元の数も４の倍数」
「和が２の倍数なら、元の数も２の倍数」

８進法ですと
「和が７の倍数なら、元の数も７の倍数」

７進法ですと
「和が６の倍数なら、元の数も６の倍数」
「和が３の倍数なら、元の数も３の倍数」
「和が２の倍数なら、元の数も２の倍数」

このようになりますよ。

「Ｎ進法のＮより１個小さい数」から考えるのが、一番考えやすいです。

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以上で、引用終わりです。

ところで、応用例ですか？
この前、子供に、
「３桁の数字の、百の位と十の位を考えてみて。」
子供「じゃー、百の位が７で、十の位は４。」
「じゃー、一の位は俺が決めるよ。それで９で割り切れたら俺の勝ちね。じゃー、一の位は７にしよう。７４７÷９を計算してみて。」
何回かやってるうちに、子供はタネを見破ったようです。
たぶん、翌日学校に行って、友達相手に試したのでは。
これぐらいしか「応用」はないかも。（笑）

ただ、循環小数（有理数）の関係で、何かの証明に使えそうな気はしますが・・・

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2100301.html

お礼

御回答ありがとうございます。分かる方には当然というだけであまり神秘的ではないようです。勉強させていただきたいと思います。参考URLも拝見いたします。

回答No.2

kkkk2222

＞３で割り切れる数についての法則とその応用
＞この法則の応用例は何かありますか。

＜この法則の応用例＞は聞いたことがないので。・・・

Ｐ＝Ａ＊１００＋Ｂ＊１０＋Ｃ
＝（Ａ＊９９＋Ｂ＊９＋Ｃ＊０）＋（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）
　　≡Ａ＋Ｂ＋Ｃ　（mod３)
または
　　≡Ａ＋Ｂ＋Ｃ　（mod９)
他にも、あるとは思いますが寡聞にして、しりません。

＜１０進構造内の成立ですので数学的には余り意味のない事項と感じています。＞

基本的に書く事もなく、全て貴殿にとっては既知の事と存知ます。以下、一種のＪＯＫＥですが、これも既知と推定されます。
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酒場で”落ち込んだ男”と”ホステス”の会話”
女：誕生日は何時？
男：５月２４日
女：二回並べて書いて１３で割れたたら希望はあるわよ。
男；５２４５２４を１３で割ると・・・４０３４８か、ＴＨＡＫ　ＹＯＵ。
女：それと、４０３４８が１１で割れたら幸運よ。
男；４０３４８を１１で割ると・・・３６６８　うーん　そうか。
女：３６６８が７で割れたらこの先明るいですよ。
男：３６６８÷７　なるほど　元気だすかな。
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お礼

ご教示ありがとうございます。１０進法だけで成り立つわけですか。そうすると、ｎ進法だと別の整数で成り立つとかそういうこともあるのでしょうか。ジョークは私のような人間はすぐ信じてしまいます。３のときも不思議な感じがしました。ないか数学的構造のようなものがあるように思えたので一種の感激を感じました。

回答No.1

N64

3で割り切れるかどうか、早くわかるので、商売などでも便利でしょう。そのほか、3人で食事をして、割り勘にするときにも、応用できるでしょう。

お礼

早速ご教示をありがとうございます。使える機会があればよいと思いました。