再び有理数と無理数について

質問

No.18913の方の質問を見ているうちに湧いてきた素朴な疑問です。

無理数をひっくり返して並べたような数は無理数ではないのでしょうか？

一例を挙げると、例えば「一桁目が３で、二桁目以降のｎ桁めは円周率πの小数点以下ｎ桁目に一致する整数」です。即ち「・・・・・９７９８５３５６２９５１４１３」と言う数字です。この数字は一意に定義できて、しかも明らかに整数（有理数）ですよね？

でも並ぶ方向が違うとは言え、πと全く同じ配列をしているので、数字としての分類が異なるのはなんだか不思議なような気がします。

こんな数字もたぶん研究している人が居ると思うのですが、お詳しい人がおられれば教えてください。

回答No.5

nakaizu · ベストアンサー

まず、あなたが考えておられる「数」は整数ではありません。
まず、整数は1から数えて行けばいつかは辿り着く数です。(負の場合は-1から数えればよい)あなたの考えた数には永遠に辿り着けませんから、整数ではありません。
普通の整数や実数について復習しておきます。
整数は足し算、引き算、かけ算ができますが、このような集合を環といいます。
整数を割り算が出来るように拡張したものが有理数体ですが、このように環を割り算が出来るように拡張したものを商体といいます。
実数を理解するのは意外とむずかしいのですが、
有理数体を距離によって完備化したものが実数体です。完備化とは収束する有理数の数列の極限値を全て付け加えたということです。別の意味では無限小数で表現できるということでもあります。
有理数でない実数を無理数といいます。

さて、あなたの考えた数は定義できないわけではありません。
普通の距離ではなく次のような距離を考えます。
10より100の方が小さい。100より1000の方が小さい。つまり1の位から0がたくさん続いている方が小さい。(普通と逆です)
このような距離を10進付値といいます。整数を10進付値により完備化したものを10進整数といいます。あなたの考えた数はこの10進整数と考えられます。
しかしながら、10進整数は足し算、引き算、かけ算は定義できますが、うまく割り算を定義して商体を作ることができません。そのためあまり研究はされていません。
10進ではなく、2進や3進であれば商体ができます。
例として2進の場合は
整数を2進法で表わし、2進付値を定義する。
整数を2進付値で完備化し、2進整数を定義する。
2進整数の商体を定義する。(2進数体という)
このようにして、実数とは別のあらたな数の体系ができあがります。

お礼

ありがとうございます。
書いていただいたことを全て理解できたわけではありませんが、整数が「1から数えて行けばいつかは辿り着く数」でなければならないことは、意外に分かっていませんでした。勉強になりました。

回答No.4

chie65536

＞例えばもっと単純な形にして、「・・・・・・１１１１１１」というように１が無限に続くような数も

残念ながら
0.11111111…
は「有理数」です。この値は１／９（９分の１）と表せます。

無理数、有理数の定義は
「小数部が、整数の分子と整数の分母で表せる実数を、有理数と言う」
「小数部が、整数の分子と整数の分母で表せない実数を、無理数と言う」
となっています。

「有理数」の原義は「比の有る数」という意味で「ａ／ｂ」と言う形の分数で表せる数値の事です。

例えば、小数部に「１３５７９」が無限に繰り返す実数
0.13579135791357913579…
は
１３５７９／９９９９９
という分数で表せるので、有理数です。

どうやら、質問者さんは、有理数と無理数の基本を（有理数と無理数の定義を）正しく理解出来ていらっしゃらないようです。

基本を理解できてない（誤解している）方にどんな回答をしても、正しく理解して頂けるとは思えませんので、申し訳ありませんが「基本を理解してきてから再質問」して頂けますでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。
私の２回目の疑問は既に無理数か有理数かと言う議論を離れてしまったのですが、その点についてきちんとした説明をしていませんでした。誤解を与えてしまい申し訳有りませんでした。

回答No.3

kabaokaba

＞この数字は一意に定義できて

できません．
こんな数列を定義してみます
a(0) = 3 x 10^0
a(1) = 1 x 10^1
a(2) = 4 x 10^2
ようするに，円周率の各桁（整数部分は0位とみなす）をとってきて
小数第n位の値を10^n倍するわけです．
それで，
この数列の無限和を考えます
a(0)+a(1)+a(2)+・・・・
高校で習いましたよね．
無限級数が収束するならば，その各項は0に収束する，
すなわち，各項が0に収束しなければ級数は発散する．
このa(n)は明らかに0には収束しないので
級数は発散します．
つまり，「一意に定義」できません．
したがって，話はこれで終わりです．

お礼

回答ありがとうございます。

ゼロでない桁が無限に存在するような整数(？)は全て一意に定義できないと言うことですね。

例えばもっと単純な形にして、「・・・・・・１１１１１１」というように１が無限に続くような数も、一見定義できているようで、実は一意に定義できていないのでしょうか？また、もし「一意に定義できる」と仮定したらどのような矛盾が生じるのでしょうか？

回答No.2

chie65536

蛇足ですが。

「一桁目が３で、二桁目以降のｎ桁めは円周率πの小数点以下ｎ桁目に一致する整数」
を元にしていると言う事は、つまりは
「円周率πを小数点以下ｎ桁で切り捨てて有理数にした、πの近似値」
を元にすると言う事ですよ。

元が有理数なんですから、並び順を変えても有理数です。

＞でも並ぶ方向が違うとは言え、πと全く同じ配列をしているので
ここが間違いですね。
「πの近似値」と同じ配列をしていますが「π」と同じ配列ではありません。
「π」と「πの近似値」では、天と地ほどの差があります。

回答No.1

chie65536

無理数はひっくり返せません。

「ひっくり返す」とは「末尾を先頭に持ってきて、末尾の１つ手前を先頭の次に持ってきて…」と言う事です。

無理数の定義は「少数部が循環せず、終りのない数」です。

「終りのない」と言うのは「末尾がない」と同じです。末尾がないので「末尾を先頭に持ってきて」と言う操作が出来ません。

円周率πも無理数で「末尾がない」ので、末尾を先頭に持ってこれません。

「前提条件が間違っていて、存在しない物について論じているので、論外」が回答です。

お礼

私の書いた「ひっくり返す」と言う意味が誤解を与えてしまったようです。
回答ありがとうございました。