公倍数の応用問題

質問

３で割ると２あまり、５で割ると３あまり、７で割ると４あまる ３けたの整数のうち、 もっとも大きいものは 何か？
この答えは3×5×7つまり105で割って53余る数
１０００を105で割ると商は９なので求める数は
105×9+53=998となるそうなのですが、どうして５３を足すのですか？
５３というのは問題文の条件を満たす最小の数ですが、これを使って最大の数の９９８を求める理由がどうしてもわかりません。
どなたか、わかりやすく教えてください。

回答No.1

kaede_h · ベストアンサー

最小の数が53というところまでは分かっているんですね？
ならば話は簡単です。

「53を先頭に、105進むごとに1つ、条件を満たす数が出てくる」からです。

公倍数の105というのが「105進むごとに1つ出てくる」という意味になります。

ですので、53から105進むごとに1段落下げて並べると、
常に右端に、条件を満たす数が来ますよね。

1-----------53　←(53＋105×0)
54---------158　←(53＋105×1)
159--------263　←(53＋105×2)
264--------368　←(53＋105×3)
369---・・・

なので、厳密には1000-53＝947を105で割って商が9(9段進める)。
最初が53なので、53+105×9=998と求めるのが正解かと思います。

お礼

回答ありがとうございました。
５３を足していかないと条件に当てはまる数が出ないのですね・・・

回答No.2

mister_moonlight

質問者が高校生だとして、解答する。
もっと簡単な回答が可能だが、問題の意味を理解してもらう為に、少々回り道をする。

求める数をＮとし、a、b、cを整数とすると、Ｎ＝3a＋2＝5b＋3＝7c＋4　‥‥(1)となる。
3a＋2＝5b＋3から、3（a-2）＝5（b-1）から3と5が互いに素から、mを整数として、a＝5m＋2、b＝3m＋1と表せる。‥‥(2)
5b＋3＝7c＋4から 5（b-3）＝7（c-2）であるから、同様の理由で、nを整数として、b＝7n＋3、c＝5n＋2　‥‥(2)
3a＋2＝7c＋4から　3（a-3）＝7（c-1）であるから、同様の理由で、kを整数として　a＝7k＋3、c＝3k＋1　‥‥(4)
(2)と(4)から、a＝5m＋2＝7k＋3より、5（m-3）＝7（n-2）より、xを整数として、m＝7x＋3、n＝5x＋2.
つまり、a＝5m＋2＝5（7x＋3）＋2＝35x＋17であるから、(1)より　Ｎ＝3a＋2＝105x＋53.
条件より、105x＋53≦999　従って、x≦9であるから、Ｎ＝105x＋53＝998.

お礼

回答ありがとうございました。
自分は中学生なので、少し回答が高度でした。理解できるようにもっと勉強します。