裏技数学、不定積分∫x^2 sin x dx

質問

ある本に、不定積分
∫x^2 sin x dx
が４０秒で解けると書いてありました。

普通の解法は部分積分を２回用いる方法だと思います。
裏技の解法を教えていただきたいです。

回答No.3

inara · ベストアンサー

I(n,x) = ∫x^n*sin(x) dx としたとき、I(n,x) に関する良く知られた漸化式
I(n,x) = - x^n*cos(x) + n*x^(n-1)*sin(x) - n*(n-1)*I(n-2,x) --- (1)
を使えば、I(0,x) = ∫sin(x) dx = - cos(x) から、直ちに
∫x^2*sin(x) dx = I(2,x) = - x^2*cos(x) + 2*x*sin(x) + 2*cos(x)
となる！なんてダメでしょうね。式(1)を知っている人なんて普通いないですね。

∫x^2*cos(x) dx との関係も考えてみましたが、部分積分を２回使うのよりも簡単とは思えませんでした。
「x^2*sin(x) の積分」や「40秒で解ける」というのを、日本語と英語で検索しましたが、該当するものはありませんでした。
本当に裏技はあるのでしょうか。

回答No.1

kkkk2222

誠に遺憾ながら＜裏＞と聞くと、ときめいてしまいます。
しばらく、思考しましたが不明でＨＩＮＴにと思い＜表＞をやってみました。
何と３０秒もかかりません。
これより速いと言う事は、＜一瞬にして＞解が見える事になります。

蛇足ながら＜表＞を書いて置きます。
P=∫(x^2)sinxdx
=-(x^2)cosx+2∫xcosxdx
=-(x^2)cosx+2(xsinx+cosx)