∫x＾2√（１－ｘ＾2）の不定積分

質問

∫x＾2√（１－ｘ＾2）の不定積分の問題なんですが，
つぎのように解いてみたんですが，

∫x＾2√（１－ｘ＾2）dx
=3x^3√（１－ｘ＾2）-∫x＾3[√（１－ｘ＾2）]'dx
=3x^3√（１－ｘ＾2）-∫{-2x/[2√（１－ｘ＾2）]}x^3dx
=3x^3√（１－ｘ＾2）-∫{x^4/√（１－ｘ＾2）}dx
=3x^3√（１－ｘ＾2）-∫{1-x^4-1/√（１－ｘ＾2）}dx+∫dx/√（１－ｘ＾2）
=3x^3√（１－ｘ＾2）-∫(1+x^2)√（１－ｘ＾2）dx+sin^-1x
左辺に∫x^2√（１－ｘ＾2）を移動して
2∫x^2√（１－ｘ＾2）=(3x^3-1)√（１－ｘ＾2）+sin^-1x+C
よって
∫x^2√（１－ｘ＾2）=1/2{(3x^3-1)√（１－ｘ＾2）+sin^-1x+C｝

となりました。途中式・解答はあってますか？

回答No.2

hatake333 · ベストアンサー

細かいところで間違いがあるようです．係数の間違いなど．

1行目から，
　　√（１－ｘ＾2）の係数は，3 ではなく，1/3
　　そして，第2項の係数が抜けていて，これも 1/3
2行目以降では，上のミスは除いて指摘します．
4行目
　　∫{1-x^4-1/√（１－ｘ＾2）}dx ⇒ ∫{(1-x^4)/√(1-x^2)}dx
　　第3項の係数が抜けていて，これも 1/3
7行目
　　左辺 2∫x^2√（１－ｘ＾2）の係数，4/3
　　右辺の第1項 (3x^3-1)√（１－ｘ＾2）
　　　　　⇒　(1/3)x^3√(1-x^2) - (1/3)∫√(1-x^2)dx
　　という風に，積分が抜けている．

答えは，
与式 = (1/8)*{x(2*x^(2) - 1)√(1-x^2) + arcsinx}
となります．微分して確認済み．

お礼

早速の解答ありがとうございます。大変参考になりました。

回答No.1

xuthus

とりあえず解いてみました。
残念ながらあなたの解答は数学的に
少しおかしいところがあるように思えます。
特に「左辺に∫x^2√（１－ｘ＾2）を移動して」は
もともとこれは方程式ではないので不可能です。
また、部分積分でやろうとしてますが、
置換をしたほうがよいでしょう。

まず∫x＾2√（１－ｘ＾2）dx=(予式)
において、√（１－ｘ＾2）はx=sinθ・・・(1)　と置換できます。
(1)を微分してdx=cosθdθ・・・(2)
(1)、(2)より
(与式)＝∫sin^2θ√(1-sin^2θ)cosθdθ
　　　＝∫sin^2θ｜cosθ｜cosθdθ
ここで-θ/2≦cosθ≦θ/2　であるから絶対値がはずれ
　　　＝∫sin^2θcos^2θdθ
整理して
　　　＝∫(sinθcosθ)^2dθ
ここで倍角の公式　sin2θ=2sinθcosθ　を利用して
　　　＝∫(2sinθcosθ/2)^2dθ
=∫(sin2θ/2)^2dθ
=∫(sin2θ)^2/4dθ
ここで半角の公式　sin^2θ/2=1-cosθ/2 を利用して
　　　＝∫(1-cos4θ/2)/4dθ
=1/8∫(1-cos4θ)dθ
=1/8(θ-sin4θ/4)
=1/8θ-sin4θ/32+C (Cは積分定数)

だと思います。
これは数IIIの範囲での積分ですのでやや特殊ですね。
間違っていたら・・・ごめんなさい。

お礼

丁寧な解答ありがとうございます。
参考にさせて頂き、もう一度問題を解いてみます。