式と証明

質問

３次の整式f(x)をx^2+3で割るとx+3余り、x^2+x+2で割ると3x+5余るという。このときf(x)を求めよ。

という問題で、
f(x)=X(x^2+3)+x+3
f(x)=Y(x^2+x+2)+3x+5
ですよね?
これからどうすればいいんでしょうか・・・

回答No.2

leap_day · ベストアンサー

こんにちは

3次の整式なので

f(x) = (x^2+3)(ax+b) + (x+3)
f(x) = (x^2+x+2)(cx+d) + (3x+5)

とおくことができます
展開すると

f(x) = ax^3 + bx^2 + (3a+1)x + (3b+3)
f(x) = cx^3 + (c+d)x^2 + (2c+d+3)x + (2d+5)

となります。この2つの式が同じ整式ということなので

a = c
b = c+d
3a+1 = 2c+d+3
3b+3 = 2d+5

ということになり、この4つの連立方程式を解いて(aとb、もしくはcとdをだす）
最初の式に代入すればf(x)が出ます(計算はやってみてくださいね（＾＾）

f(x) = x^3 + 4x + 3

回答No.5

y_akkie

基本的に他の回答者さんと同じようなやり方ですが、計算量を減らすためにできる限り文字数を減らす方法があります。

まず、f(x) = (x^2+3)(ax+b) + (x+3)とおき、
f(x) = ax^3 + bx^2 + 3ax + 3b + (x+3)
= ax^3 + bx^2 + (3a + 1)x + 3b+3であり、
この多項式を(x^2 + x + 2)で割った余りを求めると、
(2a-b+1)x+(b+2a+3)になります。
これは3x+5に恒等的に等しいので、

2a-b+1 = 3
b+2a+3 = 5

になり、これを解くと、a=1,b=0を得ます。
後は、上記の式にこれらを代入すれば、
x^3+4x+3を得ます。

回答No.4

kkkk2222

楽しめる、と思ったら何と３次式指定。
＃１＃２読んでないが、ヤケクソで投稿。

P=(Ax+a)(x^2+3)+x+3
=A(x^3)+a(x^2)+(3A+1)x+(3a+3)

P=(Ax+b)(x^2+x+2)+3x+5
=A(x^3)+(A+b)(x^2)+(2A+b+3)x+(2b+5)

解いて　P=(x^3)+4x+3

これ正解だったら、後味まで悪い。　　A=1 　！

回答No.3

take_5

別解を示しておきます。

３次の整式f(x)をax＾3+bx＾2+cx+dとし、x^2+3で割った時の商をmx+n、x^2+x+2で割った時の商をpx+qとします。
とすると、
ax＾3+bx＾2+cx+d-(x+3)＝(mx+n)(x^2+3)‥‥(1)
ax＾3+bx＾2+cx+d-(3x+5)＝(px+q)(x^2+x+2)‥‥(2)が成立する。
そこで、実際に(1)でax＾3+bx＾2+cx+d-(x+3)をx^2+3で割ってみると、(1)はx^2+3で割り切れますから、c－3a－1＝0、d－3b－3＝0.
同じ事を(2)についてもやります。ax＾3+bx＾2+cx+d-(3x+5)をx^2+x+2で割ると(2)はx^2+x+2で割り切れるから、c－a－b－3＝0、d－5－2b+2a＝0となります。
これら4つの式を連立すると、(a、b、c、d)＝(1、0、4、3)でから、f(x)＝x＾3＋4x＋3。

回答No.1

take_5

3次の整式f(x)をx^2+3で割った時の商をmx+n、x^2+x+2で割った時の商をpx+qとすると、
f(x)＝(mx+n)(x^2+3)＋(x+3)＝(px+q)(x^2+x+2)＋(3x+5)が成立する。
右の2辺を展開して整理すると、mx＾3+nx＾2+(3m+1)x＋(3n+3)＝px＾3＋(p+q)x＾2＋(2p+q+3)x＋(2q+5)。
したがって、m＝p、n＝p＋q、3m+1＝2p+q+3、3n+3＝2q+5であるから、連立して解くと、(m、n)＝(1,0)となる。
以上から、f(x)＝(mx+n)(x^2+3)＋(x+3)＝(x)(x^2+3)＋(x+3)＝x＾3＋4x＋3.