式の証明です。

質問

関数f(x,y)を　　∂^2f/∂x^2 + ∂^2f/∂y^2 = 0
を満たす関数とする。円Ｃを点(a,b)を中心とした半径rの円とするとき
f(a,b) = 1/(2π)∫{0～2π}f(a+rcosθ,b+rsinθ)dθ
が成立することを証明しなさい
…という問題なのですがどうやっていいものか悩んでいます。
できれば詳しく回答してくれると大変助かります。
よろしくお願いします。

回答No.2

nuubou

Ｃの周りにおいてはｚ－α＝ｒ・ｅｘｐ（ｉ・θ）とおけるから
ｄｚ＝ｉ・ｒ・ｅｘｐ（ｉ・θ）・ｄθ＝ｉ・（ｚ－α）・ｄθ
であるから
ｇ（α）＝１／（２・π）・∫（０～２・π）ｄθ・ｇ（α＋ｒ・ｅｘｐ（ｉ・θ））
両式の実部をとれば
ｆ（ａ，ｂ）＝１／（２・π）・∫（０～２・π）ｄθ・ｆ（ａ＋ｒ・ｃｏｓθ，ｂ＋ｒ・ｓｉｎθ）
となる

回答No.1

nuubou

命題：Ｄが単連結開集合であればＤで調和な実関数ｆはＤで正則な関数ｇの実部に等しい
というのがあるみたいですよ
だとしたら問題の式はコーシーの積分表示式の
ｇ（α）＝１／（２・π・ｉ）・∫（｜ｚ－α｜＝ｒ）ｄｚ・ｇ（ｚ）／（ｚ－α）
の実部ではないでしょうか？
ただし
α＝ａ＋ｉ・ｂ
ｚ＝ｘ＋ｉ・ｙ
ｒｅａｌ（ｇ（ｚ））＝ｆ（ｘ，ｙ）
∫（｜ｚ－α｜＝ｒ）ｄｚは左回りの線積分