表現行列を教えてください。解き方も…

質問

V=R^3 Vの基底B=<(1,1,-1),(1,-1,2),(1,0,1)>
線形変換f:V→V f(x)=Ax,
A=(1 1 1,1 -1 -1,-2 5 4)
このときfの基底Bに関する表現行列ってどうなりますか？
できれば解き方などもお願いします。

A=
1 1 1
1 -1 -1
-2 5 -4

回答No.1

alice_44

解き方：
(この回答でだけ便宜的に、列ベクトルを [a,b,c] のように書きます。)
x の標準基底上の成分表示を [p,q,r]、基底 B 上の成分表示を [P,Q,R]、
Ax の標準基底上の成分表示を [u,v,w]、基底 B 上の成分表示を [U,V,W]、
求める表現行列を T と置くと、

p[1,0,0] + q[0,1,0] + r[0,0,1] = P[1,1,-1] + Q[1,-1,2] + R[1,0,1],
u[1,0,0] + v[0,1,0] + w[0,0,1] = U[1,1,-1] + V[1,-1,2] + W[1,0,1],
[u,v,w] = A[p,q,r],
[U,V,W] = T[P,Q,R].
が成立ちます。
これらの式から p,q,r,u,v,w を消去して
U,V,W を P,Q,R の式(結果的に一次式になる)で表せば、
T を求めたことになります。

計算は、自分で行ってください。
連立一次方程式を解いて U,V,W を u,v,w の式で表せば、
後は、行列積を計算するだけでしょう。