確率の問題ですが

質問

分からず困ってます。

1個のさいころを１の目が２回出るまで繰り返す。
n回目で終わる確率をPnとすると、
(1)P3
(2)Pn+1-Pnとなるn
(3)Pnが最大となるn

お願いします(>_<)

回答No.4

naniwacchi · ベストアンサー

#2です。

計算は#3さんが示されているのですが、一点だけ修正が必要です。
そこも合わせて、

(2)
まず、Pnを求めます。
#3さんも書かれているとおり、
・n-1回目までで「1」は1回だけ、残りは「1以外」が出ることになります。
・そして、n回目は「1」が出ます。（ここまでに「1」が 2回出ているとそこで終わっている。）

n-1回の独立試行と考えれば、前半部分の確率は
(n-1)Ｃ1* (1/6)* (5/6)^(n-2)

あとは、これに最後の「1」が出る確率：1/6をかければよいです。
すると、
Pn＝ (n-1)* 5^(n-2)/6^n

となります。

あとは、Pn+1と Pnの差をとります。

(3)
先の回答でも書き込んでいましたが、
・Pn+1- Pn＞ 0のときは、Pn+1＞ Pn すなわち、確率の値は大きくなっていきます。
・逆に、Pn+1- Pn＜ 0のときは、Pn+1＜ Pn すなわち、確率の値は小さくなっていきます。

つまり、Pn+1- Pnの正負の様子をみればよく、
正→(0)→負と入れ替わるところで最大をとっていると考えることができます。
（山型のグラフをイメージしてみてください。）

最大となる nは 2つ得られます。

解答としてはここまでですが、最後の結果を少し考えてみると
-----------------------------------------------------------
さいころの目が出る確率は、それぞれ 1/6です。
最初の 6回ですべての目がひととおり出た後で（1の目は 1回出る）、
2回目の 1の目が出てくる。
結果、だいたいそのあたりの回数の確率が最大となる。

とざっくりとした見方をすることができます。

回答No.3

stuff_ppo

───────────────────────
(2)は、Pn+1-Pn < 0 となるn
ですよね。解いてみます。
───────────────────────

（1）
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n回目で終わるということは、
（a）1回目～n-1回目までには、1が1回だけ出る
　　　　（0回でも2回以上でもダメですよね？）
（b）n回目には1が出る
という事ですね。
───────────────────────

（a）1回目～2回目までで1が1回だけ出る確率を考える

2回サイコロを振るとき、すべての目の出方は、
6 ^ 2 = 36 通り

このうち、1が1回だけ出る出方は
{1が何回目に出るか} * {他の回は2～5が出る}
と考えて、2 * 5 = 10 通り

よって求める確率は、10/36 = 5/9

（b）3回目に1が出る確率は、1/6

（a）（b）より、P3 = 5/9 * 1/6 = 5/54

（2）
───────────────────────
（1）と同じ方針で、Pnを求めてみます。
───────────────────────
（1）と同様にPnを求める。

（a）1回目～n-1回目までで、1が1回だけ出る確率を考える

n-1回サイコロを振るとき、すべての目の出方は、
6 ^ (n-1) 通り

このうち、1が1回だけ出る出方は
{1が何回目に出るか} * {残りの回は2～5が出る}
と考えて、n * 5 ^ (n-2) 通り

よって求める確率は
( n * 5 ^ (n-2) ) / ( 6 ^ (n-1) )

（b）n回目に1が出る確率は、1/6

（a）（b）より、Pn = ( n * 5 ^ (n-2) ) / ( 6 ^ n ) … （*）
（*）に n = n+1 を代入して、
Pn+1 = ( (n+1) * 5 ^ (n-1) ) / ( 6 ^ (n+1) )

∴ Pn+1 - Pn = ( ( 5 ^ (n-2) ) / ( 6 ^ n ) ) { ( (n+1) * 5 )/6 - n }
───────────────────────
共通項をくくりました
───────────────────────

{}以外は正ですので、{}の正負を考えます。
Pn+1 - Pn < 0
⇔ ( (n+1) * 5 )/6 - n < 0
⇔ 5 < n

───────────────────────
これで何が分かったかというと、

nが5より大きいとき Pn > Pn+1
つまり、P1 < P2 < P3 < P4 < P5 > P6 > P7 …

最大値はもう見えますね。
───────────────────────

よって、P1 < P2 < P3 < P4 < P5 > P6 > P7 …
Pnが最大となるnは、n=5。（答え）

もし納得できましたら、自分で数式を書きながら論理を追ってみてください。
読むだけにくらべて、格段に理解度が上がりますよ。

お礼

ご回答ありがとうございます。

画面メモして解いてみます！！

補足

すみません！
もう一度確認したら
(2)Pn+1-Pn=0でした

回答No.2

naniwacchi

#1です。

(3)は微分の「イメージ」であって、微分そのものではありません。
もう少し補っておくと、値の変化の様子を見ていることになります。
ですので、
・差が正のときは、値は大きくなっていき、
・差が負のときは、値は小さくなっていきます。

この境目を調べれば・・・
そして、この考え方は微分＝ 0の考え方に似ているので、先のように表現したということです。

ちなみに、こういう差は「差分」と呼ばれます。

お礼

naniwacchiさん
またの回答どうもありがとうございます。

(1)は分かりました。
(2)、(3)が私には少し難しいです(>_<)

ですがもう少し頑張ってみます。

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

(1)の 3回目で終わる様子をよく考えると、Pnの求め方も見えてきます。
3回目「で」終わるということは、3回目は「１」が出ているはずですね。

n回目で終わるときも考え方は同じです。
すると、前の n-1回での目の出方が決まってきます。

(2)は素直に計算します。
この結果をよく考えると、(3)がわかります。
Pn+1- Pnはちょうど「微分」を考えているのと同じイメージです。

お礼

naniwacchiさん
回答どうもありがとうございます。

まさか微分を使うとは考えもしませんでした。

教えて頂いた通りに考えてみます。