部分積分

質問

部分積分の問題です。
∫x^2ln(x^2+1) dx =1/3x^3ln(x^2+1) - ∫(x^3/3)*(2x/(x^2+1))dx

ここまではあっていると思うのですが　
これからどうしたらよいのか分りません。

この後どうしたらよいのでしょうか？
お願いいたします。

回答No.3

kkkk2222 · ベストアンサー

P=∫(x^2)log((x^2)+1) dx
=(1/3)(x^3)log((x^2)+1)-Q

Q=-∫((x^3)/3)*(2x/((x^2)+1))dx
=(-2/3)∫((x^4)/((x^2)+1))dx
=(-2/3)∫((∫((x^2)-1)+(1/((x^2)+1))))dx
=(-2/3)∫((x^2)-1)dx+(-2/3)∫(1/((x^2)+1)dx
=(-2/3)((1/3)(x^3)-x)+(-2/3)R
=(-2/9)(x^3)+(2/3)x+(-2/3)R

R=∫(1/((x^2)+1)dx
x=tan(t)
dx=(1/((cos(t))^2))dt=(1+(tan(t)^2)dt
R=∫dt=t
=arctan(x)

よって
P=(1/3)(x^3)log((x^2)+1)+(-2/9)(x^3)+(2/3)x+(-2/3)arctan(x)

お礼

丁寧な回答有難うございます。
無事解決できました。

回答No.4

2hen6

すいません、x^3/3を完全に見落としてました。
残りの回答者さんの答えであってます。

回答No.2

andybell

(x^3/3)*(2x/(x^2+1))
=(2/3)*(x^4/(x^2+1))
=(2/3)*(x^2-1+1/(x^2+1))

とすれば積分できます。
2行目から3行目はx^4をx^2+1で割りました。

回答No.1

2hen6

そのあと置換積分です。
積分の中の
２ｘ／(ｘ＾２＋1)
は分母を微分したものが分子になっていますよ。ｔ＝ｘ＾２＋1
で置換してみてください。