指数の割り算について

質問

自然数nについて3のn乗＋1は8で割り切れることはないのでしょうか？指数が表現できなくてすみません。よろしくお願いします。

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

modという記号をご存知でしょうか？

9≡1(mod 8)ということを使います。

nが偶数のときと、奇数のときに分けて考えます。
・nが偶数のとき
　n=2kとおくと、
　3^n+1=3^2k+1=9^k+1≡1^k+1=1+1=2(mod 8)
・nが奇数のとき
　n=2k+1とおくと、
　3^n+1=3^(2k+1)+1=9^k*3+1≡1^k*3+1=3+1=4(mod 8)

すなわち、3^n+1はnが偶数のときは8で割ると2余り、nが奇数の
ときは8で割ると4余る。

modを知らない場合は、9=8+1として、9^k=(8+1)^kの二項展開を
考えても良いと思います。
（この質問が出てくるということは、恐らく初等整数論を勉強
されているのかと想像しますので、modはご存知かと思いますが・・）

お礼

大変参考になりました。すみませんが、modという記号の意味はわかりましたが知りませんでした。中学生に説明するときにはどのように説明したらわかりやすいのでしょうか？もし、よろしければお教えくださいませんか。よろしくお願いします。

回答No.4

y_akkie

3^1を8で割った余りは３
3^2を8でわった余りは１
3^3を8で割った余りは３
3^4を8で割った余りは１

このようにして見ていくと、nが偶数の時は１余り、ｎが奇数の時は３余る事が推測されます。この推測が正しい事を以下のように検証します。

3^kで割った余りが１ならば、3^(k+2)を３で割った余りが１になる事を確認すると、3^k = 8l + 1で表されます、そして、3^(k+2) = 8×9l + 9　
8(9l+1)+ 1なので、当然８で割った余りは１になります。
次に、3^kで割った余りが３ならば、3^(k+2)を３で割った余りが３になる事を確認すると、3^k= 8l + 3で表されるので、3^(k+2) = 8×9l + 27となり、8×(9l+3) + 3になるので、当然８で割った余りは３になります。

以上の事からnが偶数ならば3^n =8l + 1とおけ、奇数ならば 8l+3と置ける事がいえます。

よって、nが偶数のときは、3^n+1 = 8l + 2なので、８で割った余りは２となり、nが奇数のときは、3^n+1=8l+4なので、８で割った余りは４となる事から、3^n+1は８で割り切れない事が結論づけられます。

お礼

親切丁寧なご回答をありがとうございました。

回答No.3

chiropy

「3のn乗」は『3^n』と表します。

素因数分解はご存知でしょうか？
ここで3^nとは何かを考えます。
3^n=3*3*3*…*3（3がn個）
のことです。
一方8は
8=2^3=2*2*2
であるので、3^nが8で割り切れるためには3^nの因数の中に2が少なくとも三つなくてはなりませんが、上で分かるとおりないので、割り切ることが出来ません。

お礼

ご回答をありがとうございました。＋1の部分は考えなくてもよろしいのでしょうか？

回答No.1

nrb

8で割り切れる＝偶数で２で３回割れるってことです

3のn乗＋1では偶数のときもあれば奇数の時もあります

奇数＝２では割れないので・・・

答えは
ありません

お礼

ご回答をありがとうございました。