マイナス１の指数法則について

質問

指数法則の計算について、どこが間違っているか指摘してください
使う指数法則は　
a^nm = (a^n)^m　　　　・・・・・(1)
a^(n+m) = a^n * a^m　・・・・・(2)
あと　a^0 = 1です

まず１は(-1)^0と変形できます（ゼロ乗の性質）
次に、(-1)^0は(-1)^（1/2-1/2)と変形できます（０の書き換え）
指数法則(2)より、
(-1)^（1/2-1/2) = (-1)^(1/2) * (-1)^(-1/2)
(-1)^(-1/2)の部分で、指数法則(1)を使うと、
(-1)^(-1/2) = ((-1)^(-1))^(1/2)となります（-1/2を分割）

ここで、(-1)^(-1)は-1を分母にひっくり返すだけなので、値は-1となります
なので、((-1)^(-1))^(1/2) = (-1)^(1/2)となります
(-1)^(-1/2)は(-1)^(1/2)となったので（1/2のマイナスが無くなった）
(-1)^(1/2) * (-1)^(-1/2) = (-1)^(1/2) * (-1)^(1/2) = (-1)^(1/2+1/2) = (-1)^1 = -1
と計算されますが、
元の数は1なので、　-1 = 1　になってしまいます。

これはどう考えてもおかしいですよね
計算ミスをしているのは分かりますが、どの部分がおかしいのでしょうか？

個人的には-1の-1乗が-1としたところだと思うのですが、何で違うのでしょうか？

初歩的な計算で申し訳わけないのですが、数学が得意な方
どこが間違っているか指摘してください
よろしくお願いします

回答No.7

中村 拓男（@tknakamuri）

〉(－１）＾（１／２）は１と－１という２つの値になるので

これは 1^(1/2)=±1 と同じ発想ですが
間違って無いけど普通そうしませんよね。

回答No.6

noname#200028

複素数に拡張したら成り立つと言ってる回答がありますけど
（－１）＾（１／２）はｉと－ｉという２つの値になり
（－１）＾（１／２）×（－１）＾（１／２）は１と－１という２つの値になるので
－１に一致しません。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

忘れてましたが, べき乗を複素数に関して拡張定義してやれば
(2) は成り立つようにできます。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

念のため a^(mn) = (a^m)^n が成り立たない例。

1) x = -1 とします。

(x^2)^(1/2) = 1 ≠ x^1

2) x^3 = 1 とします。これは

(x-1)(x^2+x+1)=0 と同じなので x^2+x+1=0 のはず。ところが

x^2+x+1 = (x^3)^(2/3) + (x^3)^(1/3) + 1

と変形できるとすると、3 になってしまいます(^^;

ということなので、ごくごく普通の数式でも、べき乗の分解は慎重に。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

指数が整数で無い場合は負に対して指数法則は使えません。

回答No.2

kabaokaba

1=(1)^{1/2}={(-1)^2}^{1/2}=(-1)^1=-1

と同じですね．
教科書できちんと指数法則を見てみましょう．
指数法則には条件がついてませんか？

回答No.1

noname#200028

(-1)^(1/2)というものは定義されているのでしょうか？
もし定義されていないなら意味ありませんよね。