確率

質問

正四面体の４つの頂点をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとする。次のルールに従って、頂点Ａから他の頂点へ移動する思考を考える。
＜ルール＞
各頂点ごとに、サイコロの６つの目から３つの異なる目を選び、サイコロを振ってそれらの目が出たらどの頂点に移動するかあらかじめ指定しておく。ただし、異なる目には異なる頂点を指定する。サイコロを振って移動する目が出なかったときには、移動しないものとする。

・頂点Ａからサイコロを３回振ったとき、頂点Ｂに移動している確率は？

他の小問は分かったのですが、これだけ計算が合いませんm(_　_）m　
ちなみに答えは　13/54　です

回答No.3

rmz100 · ベストアンサー

まず、基本から押さえておきましょう。
サイコロを振ったさい、
・他の頂点に移動する確立はおのおの1/6（が3通り）
・今と同じ頂点から移動しない確立は3/6=1/2
となります。

また、3回振った後頂点Bにいるのは次の16通りに移動したケースが考えられます。
A-A-B
A-B-B
A-C-B
A-D-B
B-A-B
B-B-B
B-C-B
B-D-B
C-A-B
C-B-B
C-C-B
C-D-B
D-A-B
D-B-B
D-C-B
D-D-B

ここからが肝心です。
最初の「A-A-B」の確率ですが、当初頂点Aにいるのでサイコロを1回振った後Aに留まる確立は前述の通り1/2です。
2回目後もAですので同じく1/2。
3回目はAからBに移動しますのでこちらは1/6となります。
ということは、「A-A-B」と移動する確立は「1/2×1/2×1/6=1/24」となります。
同様にすべてのケースで算出すると、
A-A-B=1/2×1/2×1/6=1/24
A-B-B=1/2×1/6×1/2=1/24
A-C-B=1/2×1/6×1/6=1/72
A-D-B=1/2×1/6×1/2=1/72
B-A-B=1/6×1/6×1/6=1/216
B-B-B=1/6×1/2×1/2=1/24
B-C-B=1/6×1/6×1/6=1/216
B-D-B=1/6×1/6×1/2=1/216
C-A-B=1/6×1/6×1/6=1/216
C-B-B=1/6×1/6×1/2=1/72
C-C-B=1/6×1/2×1/6=1/72
C-D-B=1/6×1/6×1/6=1/216
D-A-B=1/6×1/6×1/6=1/216
D-B-B=1/6×1/6×1/2=1/72
D-C-B=1/6×1/6×1/6=1/216
D-D-B=1/6×1/2×1/6=1/72

ですので、
(1/24)+(1/24)+(1/72)+(1/72)+(1/216)+(1/24)+(1/216)+(1/216)+(1/216)+(1/72)+(1/72)+(1/216)+(1/216)+(1/72)+(1/216)+(1/72)
=(3/24)+(6/72)+(7/216)
=(27/216)+(18/216)+(7/216)
=52/216
=13/54
となります。

回答No.4

stomachman

場合分けだけが方法ではない、ってことで、別解を。
問題を、確率を要素とする行列で表してみましょう。
1/2, 1/6, 1/6, 1/6
1/6, 1/2, 1/6, 1/6
1/6, 1/6, 1/2, 1/6
1/6, 1/6, 1/6, 1/2
という４行４列の行列を考えます。たとえば1行4列目の要素はAからDへ行く確率、2行３列目の要素はBからCへ行く確率、という意味です。
この行列をXとしましょう。

次に、XX（XにXを掛けたもの）を考えます。すると、たとえばXXの1行2列目は「Aからドコカへ行き、そのドコカからBへ行く確率」を表します。
なぜかと言うと、XXの1行2列目の要素は
(XXの1行2列目)=(Xの1行1列目)×(Xの1行2列目)+(Xの1行2列目)×(Xの2行2列目)+(Xの1行3列目)×(Xの3行2列目)+(Xの1行4列目)×(Xの4行2列目)
で計算されますんで、この各項は「AからAに行ってBに行く」「AからBに行ってBに行く」「AからCに行ってBに行く」「AからDに行ってBに行く」の各場合の確率に対応しているからです。

さらにもう一度Xを掛けたXXXですと、たとえばXXXの1行2列目は「Aからドコカへ行き、そのドコカからまたドコカへ行き、そしてそのまたドコカからBへ行く確率」を表します。

一方、
X = (1/3)[E]+ (1/6)[1]
と書けます。
ここに[E]は４行４列の単位行列（対角線の要素が1で、他は0の行列）、[1]は４行4列で全要素が1である行列です。だから
(1/3)[E]=
1/3, 0,0,0
0,1/3,0,0
0,0,1/3,0
0,0,0,1/3
であり、
(1/6)[1]=
1/6, 1/6, 1/6, 1/6
1/6, 1/6, 1/6, 1/6
1/6, 1/6, 1/6, 1/6
1/6, 1/6, 1/6, 1/6
ですね。両者を要素ごとに足し算すればXになります。

また、
[E][E]=[E]
[E][1]=[1]
[1][E]=[1]
[1][1]=4[1]
という性質があります。これも簡単に確かめられるでしょう。

以上を使うと、
XX = ((1/3)[E]+ (1/6)[1]) ((1/3)[E]+ (1/6)[1])
=((1/3)[E])((1/3)[E])+((1/6)[1])((1/3)[E])+((1/3)[E])(1/6)[1])+((1/6)[1])((1/6)[1])
=(1/9)[E][E]+(1/18)[1][E]+(1/18)[E][1]+(4×1/36)[1][1]
=(1/9)[E]+(1/18)[1]+(1/18)[1]+(4×1/36)[1]
=(1/9)[E]+(2/9)[1]
となる。さらに、
XXX=((1/9)[E]+(2/9)[1]) (1/3)[E]+ (1/6)[1])
=(1/27)[E]+(2/27)[1]+(1/54)[1]+(4×2/54)[1]
=(1/27)[E]+(13/54)[1]
ですから
XXX=
15/54, 13/54, 13/54, 13/54
13/54, 15/54, 13/54, 13/54
13/54, 13/54, 15/54, 13/54
13/54, 13/54, 13/54, 15/54
が得られます。
AからBに行き着く確率は１行２列目を見れば分かります。同様に、たとえばCから出発してCに戻る確率は（３行３列目から）15/54と分かります。

回答No.2

shiga_3

３回目でＢになる組み合わせは

Ａ→ＡＣＤ→ＡＣＤ→Ｂ
Ａ→ＡＣＤ→Ｂ→Ｂ
Ａ→Ｂ→ＡＣＤ→Ｂ
Ａ→Ｂ→Ｂ→Ｂ
（ＡＣＤはＡ，Ｃ，Ｄのいずれか）

の４種類。
それぞれ確率は

5/6×5/6×1/6＝25/216
5/6×1/6×1/2＝5/72
1/6×1/2×1/6＝1/72
1/6×1/2×1/2＝1/24

となり、全てを足すと13/54となります。

回答No.1

shikakuhonpo

１・２・３回目に移動する場所パターン別に考えます。
Ａ＞Ａ＞Ｂ・・・１／２　＊　１／２　＊　１／６
Ａ＞Ｂ＞Ｂ・・・１／２　＊　１／６　＊　１／２
Ａ＞Ｃ＞Ｂ・・・１／２　＊　１／６　＊　１／６
Ａ＞Ｄ＞Ｂ・・・１／２　＊　１／６　＊　１／６
Ｂ＞Ａ＞Ｂ・・・１／６　＊　１／６　＊　１／６
Ｂ＞Ｂ＞Ｂ・・・１／６　＊　１／２　＊　１／２
Ｂ＞Ｃ＞Ｂ・・・１／６　＊　１／６　＊　１／６
Ｂ＞Ｄ＞Ｂ・・・１／６　＊　１／６　＊　１／６
Ｃ＞Ａ＞Ｂ・・・１／６　＊　１／６　＊　１／６
Ｃ＞Ｂ＞Ｂ・・・１／６　＊　１／６　＊　１／２
Ｃ＞Ｃ＞Ｂ・・・１／６　＊　１／２　＊　１／６
Ｃ＞Ｄ＞Ｂ・・・１／６　＊　１／６　＊　１／６
Ｄ＞Ａ＞Ｂ・・・１／６　＊　１／６　＊　１／６
Ｄ＞Ｂ＞Ｂ・・・１／６　＊　１／６　＊　１／２
Ｄ＞Ｃ＞Ｂ・・・１／６　＊　１／６　＊　１／６
Ｄ＞Ｄ＞Ｂ・・・１／６　＊　１／２　＊　１／６
これを合計すると、１３／５４になります。