カルノーサイクルのエントロピーは経路に依存しない？

質問

理想気体１モルの（P1,V1,T1）→（P2,V2,T2）への変化なんですが、経路Aと経路Bを考えて、エントロピーは経路に依存しないっていうのを習ったんですが、どうしてもわからない事があるんです。
経路A（等温→定積）で出した式は
ΔS=R・ln(V2/V1)＋Cv・ln(T2/T1)
経路B（定圧→等温）は
ΔS=R・ln(P1/P2)＋Cp・ln(T2/T1)
となったんですけど、これらはなんで等しいんでしょう？
文献で調べたのですが、ただ等しいとだけ書いてあるのばかりで、理論的に式で証明してるものがみつかりませんでした。Cp-Cv=R、あるいはPV＝nRTを使うのでしょうか、、、。
どなたか教えてください、お願いですm(__)m

回答No.3

mtt · ベストアンサー

一番式を整理して二番式に揃える方法があります。

一番式　ΔS=R・ln(V2/V1)＋Cv・ln(T2/T1)より

ΔS=R・ln(V2/V1)+(Cp-R)ln(T2/T1) 　　　　←　< Cv=Cp-R >

=R・ln(V2/V1)+Cp・ln(T2/T1)-R・ln(T2/T1)

=R{ln(V2/V1)-ln(T2/T1)}+Cp・ln(T2/T1)

=R・ln{(V2/V1)/(T2/T1)}+Cp・ln(T2/T1)

=R・ln(V2T1/V1T2)+Cp・ln(T2/T1)

ここで、PV=nRTを利用し、１モルなのでnは1で省略。　V=RT/Pより、

=R・ln{【(RT2/P2)・T1】/【(RT1/P1)・T2】}+Cp・ln(T2/T1)

=R・ln(P1/P2)＋Cp・ln(T2/T1) で二番式と同じ。

ゆえに、ΔS=R・ln(V2/V1)＋Cv・ln(T2/T1)= R・ln(P1/P2)＋Cp・ln(T2/T1)

お礼

ありがとうございます。具体的に式変形を示してもらえて理解できました。
lnの差をまとめるところが思いつきませんでした（恥

回答No.2

pricedown

P1＝nRT/V1、P2＝nRT/V2を式に代入すればそれで良いのでは？

お礼

どうも、どうやらそのようです。
あとCvをCpに換算したら良いんですね。

回答No.1

yasuharu

(等温→定積)、（定圧→等温)という経路がどこからどこが等温なのかとかよくわからないんですが、
二つの式の右辺どうしを引き算して、「等温ならばＰＶ＝一定」を使って整理すると、０になると思うのですが・・・。そうすれば、二つの式は等しいということになります。

間違ってたらすみません。

お礼

うーん、経路がばらばらなので等温として一貫してしまって良いのか、、、
というかPV＝一定を使うところも見たらなかったので…