必要条件・十分条件の問題で分からないのがあります。

質問

次の□に必要、十分、必要十分のうち最も適するものを入れてください。
(1)ab>0はa>0かつb>0であるための□条件。
(2)a>0、b>0とします。2ab>1はa^2+b^2>1であるための□条件。

答えは、
(1)必要
(2)十分
なのですが、なぜですか？

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

A　 ⇒　B　（AならばB）が成り立つとき、AはBの十分条件、BはAの必要条件という。

(1)　a > 0　かつ　ｂ > 0 　⇒　ab > 0
が成り立つから、a b > 0は　a>0 かつb>0のための必要条件である。

(2)　0 < a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab より(a+b)^2 > 2ab が成り立つ。よってこれを用いると
　　2ab>1　⇒　(a+b)^2 >2ab > 1

よって2ab＞１はa^2 + b^2 >1であるための十分条件。