「集合と論理」で分らないのがあるので教えてください

質問

□に入る言葉を(1)から(4)より選んでください。
(1)ab+1=a+bであることは、a、bのうち少なくとも１つが１であるための□。
(2)xy<1であることは、y<(1/x)であるための□。
(3)｜a｜<1、｜b｜<1であることは、ab+1>a+bであるための□。

(1)必要条件であるが、十分条件でない。
(2)十分条件であるが、必要条件でない。
(3)必要条件でも十分条件でもない。
(4)必要十分条件である。

答えは、
(1)(4)
(2)(3)
(3)(2)
なのですが、どうしてこのような答えになるのか分りませんので教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

まず、命題P があり条件の命題Aがあるとき

A->P（またはその対偶￢P->￢A）が常に真なら A は十分条件
P->A（またはその対偶￢A->￢P）が常に真ならAは必要条件

これが必要条件、十分条件の定義です。あとは検討するだけす。

(1) ab+1=a+b は (1-a)(1-b)=0 つまり a=1 または a=b と同値です。
つまり必要条件でありかつ十分条件なので (4)

(2) xy<1->y<(1/x)　はx=-0.5, y=-1　で真ではないし,
y<(1/x)->xy<1 はx=-1, y=-2では真ではありません。
従って十分条件でも必要条件でもありません。従って(3)

(3)ab+1>a+b は (1-a)(1-b) > 0 なので

｜a｜<1、｜b｜<1　->　(1-a)(1-b) > 0 は常に真です。従って十分条件。

(1-a)(1-b) > 0　-> ｜a｜<1、｜b｜<1　は a=-2, b=-2 では偽なので
必要条件ではありません。

従って (2)

補足

(2)について質問なんですが、「xy<1->y<(1/x)」と「y<(1/x)->xy<1 」の「-」はマイナスですか？

回答No.2

asuncion

＞(2)について質問なんですが、「xy<1->y<(1/x)」と「y<(1/x)->xy<1 」の「-」はマイナスですか？

#1さんは「->」で「ならば」を表現されています。
「-」は、「ならば」の一部でありましょう。