弾性力の問題

質問

物理の問題で計算がうまくいかなくて困ってます。

ばね定数k1、k2のばねA、Bと質量m1、m2のおもりP、Qを直列につなぎ天井から吊り下げる。
初めこれらのみでつりあいの位置にある。このつりあいの状態から、Qの下面に板をあて、距離aだけQを押し上げた。ばねA、Bの伸びを求めよ。重力加速度の大きさをgとする

という問題です。

つりあいの式から、どうやって計算して答えを導くのかがわからないので、よかったらそこを中心に教えてください。

回答No.3

Quarks · ベストアンサー

見当外れのレスを２回もしてしまいました。

ANo.1より

ｘ1=(ｍ1＋ｍ2)ｇ/ｋ1　　（６）
ｘ2=ｍ2ｇ/ｋ2　　　（７）

ANo.2からは

(1),(3)を(2)に代入して

ｋ1・ｙ1＝k2・ｙ2＋ｍ1・ｇ　（８）
(5)から
ｙ1=（ｘ1＋ｘ2－ａ－ｙ2)　（９）

（８）に（６），（７），（９）を代入して
ｙ2(ｋ1＋ｋ2)＝ｋ1(ｘ1＋ｘ2－ａ)－ｍ1・ｇ
＝(ｍ1ｇ＋ｍ2ｇ－ｋ1ａ－ｍ1ｇ)
＝(ｍ2ｇ－ｋ1ａ)

∴ｙ2=(ｍ2ｇ－ｋ1ａ)/(ｋ1＋ｋ2)

（９）に代入して
ｙ1=((ｍ1＋ｍ2)ｇ/ｋ1)＋(ｍ2ｇ/ｋ2)－ａ－(ｍ2ｇ－ｋ1ａ)/(ｋ1＋ｋ2)
これをベタで展開すると整理しにくいですが

(ｍ2ｇ/ｋ2)－ａ－(ｍ2ｇ－ｋ1ａ)/(ｋ1＋ｋ2)
のところを

(ｍ2ｇ/ｋ2)－(ｍ2ｇ)/(ｋ1＋ｋ2)
と
－ａ＋ｋ1ａ/(ｋ1＋ｋ2)
とに分けてそれぞれ整理すると

(ｍ2ｇ/ｋ2)－(ｍ2ｇ)/(ｋ1＋ｋ2)＝ｍ2ｇ{1/ｋ2－1/(ｋ1＋ｋ2)}
＝ｍ2ｇ{ｋ1/(ｋ2(ｋ1＋ｋ2))}
＝(ｋ1/ｋ2)ｍ2ｇ/(ｋ1＋ｋ2)

－ａ＋ｋ1ａ/(ｋ1＋ｋ2)
＝ａ/(ｋ1＋ｋ2){ｋ1－(ｋ1＋ｋ2)}
＝－ｋ2ａ/(ｋ1＋ｋ2)

ですから

ｙ1＝(ｍ1＋ｍ2)ｇ/ｋ1＋((ｋ1/ｋ2)ｍ2ｇ－ｋ2ａ)/(ｋ1＋ｋ2)

お礼

何度もありがとうございました！とてもわかりやすかったです！

回答No.2

Quarks

ＡNo.1です。
肝心の部分を書き忘れました。
次に、Qを板で支えて、ａだけ上げた場合。
新たに、バネＡ，Ｂの伸びをｙ1,ｙ2とし、板が押し上げる垂直抗力をＮとしてみます。

先と似た状況なので、新たな状態での、バネオモリ間の力をＦ1'，Ｆ2'などとして

Ｆ1'＝ｋ1・ｙ1　（１）
Ｆ1'＝Ｆ2'＋ｍ1・ｇ　（２）
Ｆ2'＝ｋ2・ｙ2　（３）

Ｑ：バネＢから引き上げられる力Ｆ3'(=Ｆ2')，自身の重力ｍ2・ｇと板からの垂直抗力Ｎが掛かり、釣り合っています。
Ｆ2'＋Ｎ=ｍ2・ｇ　（４）

Ｑの位置がａだけ上がったので、
ｘ1＋ｘ2＝ｙ1＋ｙ2＋a　（５）

未知数は　F1'，F2'，ｙ1，ｙ2，Ｎで、式は５式ありますから、解けて…

お礼

回答ありがとうございます。
実はそのあとが問題だったりします…

計算ができないんですよ。

回答No.1

Quarks

上から順に、天井－バネＡ（バネ定数ｋ1）－おもりＰ（質量ｍ1）－バネＢ（バネ定数ｋ2）－おもりＱ（質量ｍ2）　と直列に繋がっている、という条件でしょうか？

素直に、各部に掛かる力を正しく評価して、それぞれの、どれとどれが釣り合っているのかを定式すれば良いでしょう。

各部分で、釣り合いが成り立つのですから、適当に弾性力，重力を仮定して、定式すれば良いでしょう。(必ず図を描いて、図と比較しながら以下を読んで下さい）。

バネＡ：天井から引かれる力Ｆ0，下端がＰによって下に引かれる力Ｆ1が掛かります。
釣り合っていますから　Ｆ0=Ｆ1、また
フックの法則が成り立つとして、伸びをｘ1とすると
(Ｆ0=)Ｆ1＝ｋ1・ｘ1　（１）

（注意）バネＡはバネＢと直接は接していませんから、バネＢからの弾性力という力を、バネＡについては考えてはいけません。弾性力は、接している物体にしか働かないのですから。）

Ｐ：上のバネＡからの反作用として、上向きにＦ1，下のバネＢから引かれる力Ｆ2，自身の重力ｍ1・ｇが掛かります。
Ｆ1=Ｆ2＋ｍ1・ｇ　（２）

バネＢ：Ｐによって上に引かれる力Ｆ2、下端がＱによって下に引かれる力Ｆ3が掛かります。
釣り合っていますから、Ｆ3=Ｆ2，フックの法則から、伸びをｘ2として
(Ｆ3=)Ｆ2＝ｋ2・ｘ2　（３）

Ｑ：バネＢから引き上げられる力Ｆ3(Ｆ2に等しい大きさ)，自身の重力ｍ2・ｇが掛かり、釣り合っています。
Ｆ2=ｍ2・ｇ　（４）

（１），（２），（４）を組み合わせて、
ｋ1・ｘ1＝ｍ1・ｇ＋ｍ2・ｇ　（５）
ｘ1=…
（５）の物理的意味を考えると、バネＡは「オモリＰ，Ｑが吊り下げられているときの」状態になっている、と解釈できます。確かに、Ａの下端より下を隠したら、そう見えるでしょう。

（３），（４）から
ｘ2=…
こちらの等式（書いてありませんが）は、バネＢは、オモリＱだけが吊り下げられている状態と等しいと解釈できます。これも、Ｂの上端より上を隠してしまうと、Ｂの上端を天井に固定しているのと同じだと解釈できます。