物体の衝突する高さ

質問

地面から初速度vで物体Aを鉛直上方に投げ上げる。Aが最高点に達した瞬間に別の小物体BをAと同じ位置から初速度vで鉛直上方に投げ上げたところ、AとBが衝突した。重力加速度の大きさをgとする。
(1)小物体Aを投げ上げた時刻を0とする。AとBガ衝突するまでの時刻tにおけるAの速度はいくらか。ただし、鉛直上向きを正とする。
(2)Aが達する最高点の高さはいくらか。
(3)Bを投げ上げた後AとBが衝突するまでの間において、Bに対するAの速さについて、横軸を時間、縦軸を早さとしたグラフはどうなるか。
(4)AとBが衝突する高さhはいくらか。

(1)-(3)までは分かるのですが、(4)がよくわかりません。
BからみたらAはh(m)を等速vで近づく。衝突する時刻をt1とすると、t=t1のとき、AはBのところへくるからt1=h/vである…。
と書いてあったのですが、よく理解できません。
BからみたらAはh(m)を等速vで近づく。というのがよく分かりません。あと、t1=h/vもよく分かりません。衝突する時刻に高さがhとは限らないのに、どうして式にhがでてくるのでしょうか。

回答No.6

Akira_Oji

(1)-(3)までは分かるということなので、簡単にレヴューしてから(4)にいきたいと思います。

（１）物体Aの運動方程式は
Ma=-Mg　-->a=-g
これより速度は一般速度をv,初速度をv0として、
v=-gt+v0

（２）上式より、物体Aの高さｘは一般に（衝突するまで）
x=-(1/2)g.t^2+v0.t
最高点xmに達したときは、速度が０になるので、（１）の結果よりv=0と置いて、そのときの時刻をtmとすれば、
0=-g.tm+v0　　-->　　tm=v0/g
となる。これを高さ　xの式に入れてxm
xm=-(1/2)g.tm^2+v0.tmA
=-(1/2)g.(v0/g)^2+v0.(v0/g)
=-(1/2)(v0^2/g)+v0^2/g
=(1/2)(v0^2/g)

（３）物体Bの運動方程式はAと同じですが
Ma=-Mg　-->a=-g
打ち上げた時間が違うので、速度uのほうはt=tmでu=v0となりますから
u=-g(t-tm)+v0A
=-gt+g.tm+v0
=-gt+g.(v0/g)+v0
=-gt+v0+v0
=-gt+2v0

Bに対するAの速さは
v-u=(-gt+v0)-(-gt+2v0)=-v0
v0の大きさで下向き、Bに向かって落ちてきます。ここで、この相対速度（v-u)はどちらの物体も重力加速度を共通で受けていますので、相対速度が一定の（-v0）になっていることに注意です。

（４）さて、t=tmで物体Aは最高点xm=(1/2)(v0^2/g)にあり、物体Bは打ち上げの瞬間でx=0にあるので、二つの物体間の距離はもちろんxm=(1/2)(v0^2/g)です。この距離を相対速度|v-u|=v0で縮めていくのですから、かかる時間Tは
T=xm/v0=(1/2)(v0^2/g)/v0=(1/2)(v0/g)
衝突する時刻t1は、
t1=tm+T=v0/g+(1/2)(v0/g)=(3/2)(v0/g)

「衝突する時刻をt1とすると、t=t1のとき、AはBのところへくるからt1=h/vである」は間違っていると思います。ｈとｘｍを混同しています。

回答No.5

htms42

この問題が難しくなっているのは
衝突の問題と相対速度の問題とが一緒に入ってきたからです。

衝突だけであれば相対速度を使わずに地面に対する運動としてだけ考える方がイメージがハッキリします。それと同じ結果を相対速度の考え方でやれば・・・という流れだと「ああ、こうなっているのか！」という感じを持つことになります。

問題の（３）で相対速度に引っ張っていってから（４）を解くということになっていますから難しいのです。「（３）までは分かった」と書いてありますが（４）との繋がりが分かっていなければ（３）ができたことの意味がないのです。

ｈは最高点の高さです。（２）で求めています。
＞BからみたらAはh(m)を等速vで近づく。
「等速ｖで近づく」の部分は自分で導くことのできるものです。（３）が出来たのであれば出てきます。
「ｈを・・・」の部分は相対速度で運動を考える時の距離は相対距離であるということからでてくることです。速度を相対速度にすれば位置の基準も変わっているのです。地面を基準にして位置と速度を出していた表現が相対運動では運動している片方の位置と速度が基準に変わるのです。全体の枠組みが変わります。
Ｂに対するＡの速さ　Ｖａｂ＝Ｖａ－Ｖｂ
とだけ考えて終わりではありません。
位置も
Ｂに対するＡの位置　Ｈａｂ＝Ｈａ－Ｈｂ
に変わります。
Ｈａｂの初期値がｈになります。
衝突するというのはＨａｂ＝０になるということです。

Ｖａ、Ｖｂ、Ｈａ、Ｈｂを意識してやれば相対速度の考えＶａｂ，Ｈａｂを使っても使わなくても同じ結果になるということはすぐに分かります。

回答No.4

fatbowler

失礼。回答No.3にタイプミスがありました。
下記、訂正します。
誤：h=h0-1/2・g・t^2
正：h=h0-1/2・g・t1^2

回答No.3

fatbowler

解答が間違ってますね。
(2)で求めたAの最高到達点をh0とすると、Bから見るとAは、距離h0
離れたところから、等速vで近づいてくるように見えます。
これを踏まえて、
「BからみたらAはh0(m)を等速vで近づく。衝突する時刻をt1とすると、
t=t1のとき、AはBのところへくるからt1=h0/vである…。」
なら理解できますか？
t1を求めて、
h=h0-1/2・g・t^2
を計算すればhが求められます。

回答No.2

Squirrels

＋αです・・・。

高校の先生？にもよく言われているかもしれませんが
とにかく物理は『絵（作図）』をわかりやすく大きく書くことです！！

回答No.1

Squirrels

これは簡単なことです。
小学生のころやったであろう
道のり＝速さｘ時間　という公式はわかりますね？

と言うことは
時間（(1)で求めた時間t）=道のり（高さｈ）÷速さ（速度ｖ）
となるのです。

>衝突する時刻に高さがhとは限らないのに、どうして式にhがでてくるのでしょうか。
問題を見てみると『(4)AとBが衝突する高さhはいくらか。』と書いてあり、
これはつまり『衝突する高さをｈとして計算せよ』と言っているようなものです。

道のり＝速さｘ時間　公式は
物理では意外なところ(波とか)で使えたりすることがあるので
計算するときに、頭の片隅に置いておくことをお勧めします。

＞BからみたらAはh(m)を等速vで近づく。
これは、ＡＢ両方に全く同じ加速度ｇ(重力加速度)が働いているからです。
重力加速度ｇの向きは下向きと書いてありますでしょう。
とするとＡＢにおいて、上に向かって飛んでいても下に落下していても
同じ重力加速度が同じ方向に向かっていると言うことであり

"相対速度"と同じ考えで
Ｂが上向きに進んでいるが下向きの重力加速度ｇが働いていて、
同じ下向きの重力加速度ｇが働いているＡ　をＢから見ると
加速度０　つまり等速運動をしているように見えるということです。

下手な説明になってしまいましたが
少しでも言いたいことが伝わってくれると幸いです。