物体の衝突の問題です。

質問

大学受験問題です。よろしくお願いします。

水平な地面上のＰ地点から質量Ｍの小物体Aを鉛直に打ち上げ、同時にＱ地点から質量ｍの小球Ｂを打ち上げる。小球Ｂの打ち上げ角度αとＰＱ間の距離lは変化させることができる。小物体Ａの打ち上げの初速度の大きさをＶ、小球Ｂの初速度の大きさをｖとする。また、重力加速度の大きさをｇとし、空気による抵抗は無視する。
ＢをＡに衝突させるには、角度αをいくらにしなければならないか。sinαを求めよ。
私は、
Ａのｔ秒後のｘ座標＝Ｂのｔ秒後のｘ
Ａのｔ秒後のｙ座標＝Ｂのｔ秒後のｙ
とし式を立てました。

ですが、解答では、

ＡとＢが衝突する場合、Ａ、Ｂは同じ座標に同じ時刻に到達しなければならない。その場合、鉛直方向について考えれば、同時に投げ出すため、鉛直方向の初速度が同じでなくてはならない。ここで、それぞれの初速度のｙ成分より、
ｖsinα＝Ｖ
とあります。
ですが、鉛直方向だけで、どうしてｘ軸方向は考えないのでしょうか。
高さは同じでも、ｘ座標が違うかもしれず、それだと衝突しないと思います。

また、答えには、「鉛直方向の初速度が同じでなくてはならない」とありますが、どうしてでしょうか。

以上、よろしくお願い致します。

回答No.5

rikasougou · ベストアンサー

>>放物運動する２物体が衝突する場合の考え方は、
>>「同じ運動をする座標成分を見つける」のがコツです。

>というのを知っていれば、確かにｙ方向だけ考えればいい、
>とわかります。まだあまり問題を解いていないので知りません
>でした。ですが、どうして、上のコツが言えるのかが、
>わかりません。

衝突する＝同じ時刻に、同じ位置を占める。

ということです。ｘ、ｙ座標のうち、運動が一致している成分（今の場合はy座標）を見つければ、残りの成分（今の場合は、ｘ成分）をみていくだけになるので、扱いが楽になります。

>「さらに、Aは鉛直上向きに投げ上げており、Bは、A方向へVcosαで
>近づいていくので、地面に落下することを考えなければ、必ず衝突
>することになります。」
>と言える理由がわからないのです。

２物体のｙ座標は、各時刻で一致しているので、ｘ座標が一致したときに２物体が、同じ時刻に同じ位置を占めることになり、衝突します。

Aのｘ座標は不変で、Bは、Aの側へ一定速度で近づいているので、地面に落下することを考えなければ、いつかは必ずｘ座標が一致します。
よって、必ず衝突することになります。

>ｖsinα＝Ｖがどうして必要十分条件でないのかがわかりません。

ｖsinα＝Ｖが成り立っていたとしても、ｖの大きさが小さければ、空中で衝突する前に、地面に落下してしまいます。

よって、

衝突するためには、ｖsinα＝Ｖであることが必要。
ｖsinα＝Ｖだからといって、必ず衝突するわけではない。

ということなので、ｖsinα＝Ｖは、必要十分条件ではなく、必要条件です。

参考URL：

http://webkouza.com

お礼

度々ご回答いただきましてありがとうございます。

すごい！と思いました。
よくわかりました。
回答を読ませて頂いて、よく考えるとやっとわかりました。
ｙ座標は常に一致なのだから、衝突するためには、ｘ座標だけ考えればいいが、ｘ座標は、地面に落下しなければ、必ずいつかは一致する、その時、ｙ座標は常に一致しているから、衝突する、ということですね。

きっと、何度も同じ質問をして、呆れられていたと思いますが、やっとわかりました。ありがとうございます。

今までのご回答で、「地面に落下することを考えなければ、」という注釈がついていたのも意味がわからなかったのですが、やっと意味がわかりました。つまりｘ座標が一致する前に落ちる場合は衝突しないからですね！

ｖsinα＝Ｖが必要条件なのもわかりました！

度々教えていただいてありがとうございます。
大変勉強になりました。

回答No.4

rikasougou

放物運動する２物体が衝突する場合の考え方は、

「同じ運動をする座標成分を見つける」のがコツです。

この場合、２物体のｙ座標は、ｖsinα＝Ｖとすれば、
初速度と加速度が共に等しいので、全く同じ運動になります。

つまり、ｙ軸に写った影を見ると、最初からずっと重なっていることになります。

さらに、Aは鉛直上向きに投げ上げており、Bは、A方向へVcosαで近づいていくので、地面に落下することを考えなければ、必ず衝突することになります。

あと、問題では、「衝突させるためには、どうしなければならないか」と聞いていて、ｖsinα＝Ｖとすれば、必ず衝突するとは言っていないことにも注意です。

衝突するとすれば、ｖsinα＝Ｖとすることが必要であるという、必要条件を求めさせています。

２物体が空中で衝突する、様々な場合について、こちらの無料講義で詳しく扱っていました。
http://phys-yobiko.com/muryo5.html

参考URL：

http://phys-yobiko.com

お礼

ご回答ありがとうございます。
なるほど、
＞放物運動する２物体が衝突する場合の考え方は、
＞「同じ運動をする座標成分を見つける」のがコツです。

というのを知っていれば、確かにｙ方向だけ考えればいい、とわかります。まだあまり問題を解いていないので知りませんでした。ですが、どうして、上のコツが言えるのかが、わかりません。

Ｙ軸の影が一致するのはわかりました。ですが、申し訳ないのですが、やはり、
「さらに、Aは鉛直上向きに投げ上げており、Bは、A方向へVcosαで近づいていくので、地面に落下することを考えなければ、必ず衝突することになります。」
と言える理由がわからないのです。
ただわからないなりに数学的に考えると、Ａ、Ｂ、Ａの最高点をＣとすると、ＡＢＣで直角三角形をつくると、ＡＣ＝Ｖ、ＡＢ＝ｖcosαよって、Ｖ＝vcosαとなるかな？と思います。ただ、Ｖやｖは速さであって長さではないので、この考え方があっているかどうかはわからないですが。

＞問題では、「衝突させるためには、どうしなければならないか」と聞いていて、ｖsinα＝Ｖとすれば、必ず衝突するとは言っていないことにも注意です。
のところも、必要条件、十分条件という考え方はわかるのですが、ｖsinα＝Ｖがどうして必要十分条件でないのかがわかりません。

参考ＵＲＬありがとうございます。
今、無料登録しました。登録が済み次第講義を受けてみます。ありがとうございました。

回答No.3

First_Noel

＃１です．念のため，追記です．

＞図を描けば，時刻の方程式を解かなくても，三角形の図形の問題として扱え，
＞それだけで答えが求まってしまう，と言うことです．

と書きましたが，勿論，実際の軌道は重力の影響があるので三角形を形成しないのですが，
Ｂを打ち出した瞬間，Ｖとｖの方向を延長すると三角形を形成します．

その後はＡもＢも同じ重力の影響を受ける為，衝突すると言うことになります．

お礼

度々のご回答ありがとうございました。
そういえば、前ＮＨＫの物理高校講座の番組で、あるところにつるしている物体を真下におとすものＡと、斜めにロケットＢを発射させて、Ａに当てるにはどうしたらいいのか、というのをやってたのですが、その答えは、Ｂのロケットが停止しているときに、つるしてあるＡを狙う、でした。つまりＡ、Ｂ、Ａの真下の点で直角三角形になるように、Ｂのロケットの方向が三角形の斜辺になるような感じでした。

それは両方同じ加速度で下向きに力を受けるため、というものでした。
そのときは、なるほどと思ったのですが、Ｘ方向について説明がなかったような気がします。いまいちＸ方向について考えないでいい理由がわからないのです。

ありがとうございました。

回答No.2

looker1986

２つの物体が同じ重力の影響を受け、空気抵抗を考えないときは、片方の物体（仮にＡの物体としましょう）と一緒に飛んでみると、重力の影響を無視することができます。

つまり、無重力状態ですね。スカイダイビングで一緒に落ちている人が止まって見えるのと同じ話です。

Ａに乗って飛び上がる状況を想像してみてください。
ＡとＢのｙ軸方向の初速度が同じでなければ、Ｂはどんどん下に下がっていくか、上に飛んでいってしまいます。

また、衝突するかどうかにｘ軸方向の速度は関係ないですね。
Ｂを後ろ向きに飛ばしたり、真上に飛ばしたりしなければ、ＢはじりじりとＡに近づいていつか衝突してしまいます。

本当はＡとＢが地面につく前に衝突しなければならないことも考えないといけないのですが、この問題では無視してもいいようです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
どちらの物体にも同じ下向きの加速度ｇがかかるのはわかります。
新幹線の中でボールを落としたら真下に落ちているように見えるが実は斜方投射になっているという例ですね。ですが、それがこの問題とどう関係しているのかが、いまいちよくわかりません。

＞また、衝突するかどうかにｘ軸方向の速度は関係ないですね。
これがわかりません・・・と思ったのですが、今じっと考えているとわかったかもしれません。斜めに投げ上げても真上に投げ上げても速度はずっと同じ（同じ下向きの加速度がかかるから。）。だから初速度が同じでなければいけない。
でも、これはｙ方向だけですよね。
何度も同じ事を言うようですが、ｙ方向の位置が合致してもｘ方向が合致しないとぶつからないと思ってしまうのですが・・・

もう少し考えたらわかりそうな気がしますが、もう一度考えてみたいと思います。ありがとうございました。

回答No.1

First_Noel

＞ですが、鉛直方向だけで、どうしてｘ軸方向は考えないのでしょうか。

衝突する最低限の条件が，
「ｙ方向位置が一致する」
であるからです．
この条件を満たすよう計算すると，もうｓｉｎαが一意に決まるので，
ｘ方向は省略して良いと言うことです．

つまり，Ｐ，Ｑの位置と衝突したときのＡ，Ｂの位置（つまりＡとＢの位置は一致）の
図を描けば，時刻の方程式を解かなくても，三角形の図形の問題として扱え，それだけで答えが求まってしまう，と言うことです．

勿論，

＞Ａのｔ秒後のｘ座標＝Ｂのｔ秒後のｘ
＞Ａのｔ秒後のｙ座標＝Ｂのｔ秒後のｙ

としても良いのですが，楽できるところは楽しよう，と言うことですね．

＞また、答えには、「鉛直方向の初速度が同じでなくてはならない」とありますが、どうしてでしょうか。

小球の運動は，
ｘ方向は初速度を維持する，
ｙ方向は重力の影響を受ける，
です．

ＡもＢも，同じく重力加速度－ｇ（下向きの意）の影響を受けるので，
どちらも同じ割合で減じることになります．

この問題の重要な点はもうひとつあって，
αとＰＱ間の距離は変えられる，とありますが，αとｖとＶとは独立の変数ではなく，
ｖsinα＝Ｖ
と言う関係を満たす必要がある(1)，そして，衝突地点をＸとすれば，
ＰＸの距離＝Ｖｔ，ＢＸの距離＝ｖｔ，しかも打上角はαとなっているので，
実はＰＱ間の距離もまた，Ｖとｖとαが決まれば決まってしまう(2)，
上記(1)(2)を考えると，結局，αもＰＱ間距離もｖとＶが決まれば一意に決まる，と言うことです．

お礼

早速お返事を頂き、ありがとうございます。
＞衝突する最低限の条件が，「ｙ方向位置が一致する」であるからです．
たしかに、これが最低条件ならば、それでいいと思うのですが、
いまひとつ納得がいきません。
というのも、ぶつかるためには、ｘｙ座標でいうと、ｘとｙの両方が一致しないとぶつかりません。
つまり、今回のように、ｙ方向位置（ｙ座標）が一致してもｘ座標が異なればぶつからないと思うのですが・・・。
ただ、自身では２つ式を立てましたが、ｙ座標の方の式では、わからないのが、１文字しかないので、わざわざ二式をたてなくてもよい、というのはわかりました。
今回はたまたま２式のうち１つだけでとけるのでＯＫということでよいでしょうか。

＞また、答えには、「鉛直方向の初速度が同じでなくてはならない」とありますが、どうしてでしょうか。
については、
＞小球の運動は，
＞ｘ方向は初速度を維持する，
＞ｙ方向は重力の影響を受ける，
＞ＡもＢも，同じく重力加速度－ｇ（下向きの意）の影響を受けるので，どちらも同じ割合で減じることになります．

というのはわかるのですが、
これはつまり、ぶつかるためには、ぶつかるときの速度が同じでないといけないというのが前提だということですか？
私は、衝突するときに同じ速度でないといけない、とは思いつきませんでしたが、衝突するときに同じ速度でないといけないのであれば、解説文の意味がわかりました。

最後の重要な点というのは、問題文をぼーっと読んでいたので、気づききませんでした。でも、言われていれば、一つの関数ｖsinα＝Ｖを満たす変数なのですね。

大変参考になりました。教えていただいたことを参考にもう一度考えてみたいと思います。ありがとうございました。