関数についての基本的な質問

質問

複素数の含まれる式をグラフで考えるにはどうすれば良いのでしょうか？
経緯を下に書きます。

一辺が10cmの正方形の紙を使って、円柱を作る場合、高さXを何ｃｍにしたとき体積が最大になるか、（円の直径は10-Xとする）という問を、好奇心で解いておりましたところ、
体積＝πX三乗/2-10πX二乗+50πX
であることがわかりました。
次に、Xが０～10の間で最大値をいつとるか知るため、この式を微分して、傾きを調べようと思いました。
微分した式は
（体積）’＝3πX二乗/2-20πX+50π
になりました。
これを、因数分解するために「解の方程式」を使ったところ、複素数が出てきてしまいました。
ここで、困ったのは、複素数をグラフで扱うことができるのか私はわからず、この関数がどういった性質を持つものなのか困惑してしまいました。

この問題は解くことはできるのでしょうか？

回答No.6

veleno

X=10/3だと円周が10cmを超えるので側面が閉じません。

お礼

回答が大変遅れて申し訳ありませんでした。
深くお詫び申し上げます。
貴重な回答ありがとうございました。

回答No.5

Mr_Holland

誤記を見つけたので、ご指摘まで。

V(X)の極大値は　X=10/3　では？

あと、V(X)は円錐ではなく円柱の体積だから、
V(X)=π/4×(100X-20X^2+X^3) では？

お礼

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回答No.4

y_akkie

高さをX,円の直径が10-Xの円柱の体積を求めると、
円柱の底面積が(1/4)×(10-X)^2×π
円柱の高さがXなので、
円柱の体積は(1/12)×(10-X)^2×X×π
すなわち、π/12×(10-X)^2×Xになる。
V(X)=π/12×(100X-20X^2+X^3)とおき、
V(X)を微分すると、
V'(X)=π/12×(100-40X+3X^2)
V'(X)=0を解くと、X=3/10,10
グラフを描くと、X=3/10の時、極大値、X=10
の時、極小値である事がわかる。
0<X<10より、X=3/10のときV(X)が最大になる
事が分かる。

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回答No.3

ttttaaanni

x=3/10 かな？

ちなにみ、高さ　　　　10-X
　　　　　円の直径は　X

の方が計算楽です。

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回答No.2

Tacosan

冷静に考えてみてください.
考えている状況では, x = 0, 10 で体積 V = 0 となり, その間の値では V > 0 となります. つまり, 0 と 10 の間のどこかで V が極大となる x の値が存在します. ということは「V を x で微分して得られる関数」の零点が 0 と 10 の間に存在しなければなりません.
結論: 計算を間違えている.

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回答No.1

Mr_Holland

体積Ｖの式が正しいとすると、微分して０になる実数ｘが存在しないということは、曲線Ｖの傾きは常に正で０にならない、ということを示しています。
つまり、Ｖはｘの単調増加関数になります。

したがって、Ｖの最大値を求める場合には、ｘが最大のときにＶが最大になることが分かります。

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