ベクトルの計算方法

質問

一辺の長さ２の正四面体OABCにおいて、OA上に点Pを、内積（OA→、PB→）＝１となるようにとり、次に点CからPBへ引いた垂線の足をQとする。
PQ;PBを求めよ。

解答
OA=a→、OB→＝b→、OC→＝C→とする。さらに、
OP→＝ｋOA→＝Ka→
とすると、PB→＝PO→＋OB→＝－Kａ＋ｂよって
（ＯＡ→、ＰＢ→）＝１から
（a→,-ka→＋b→） = -k(a→,a→)+(a→,b→)=１ ..... (A)
さらに、ＰＱ→＝ｌＰＢ→＝ｌ（－ka+b→）とすると
CQ→＝CO→＋OP→+PQ→
＝-c→+ka→+l(-ka→+b→)=k(１-ｌ)a→+lb→-c→であり
これがＰＢ→と垂直であるから、内積は０である。
よって（ｋ（１－ｌ）a→+lb→-c→、－ka→+b→)=0
∴-k＾2(1-l)(a→,a→)+k(1-2l)(a→,b→）+l(b→,b→）
+K(a→,c→）-(b→,c→）=0 ........(B)

ところが、一辺の長さが２で、a→とｂ→、ｂ→とｃ→、ｃ→とa→のなす角がすべて６０°であるから、
(a.a)=(b,b)=4, (a,b)=|a||b|cos60°=2
同様に（b.c)=(a,c)=2 これらを(A),(B)に代入して

-4k+2=1 , -4k＾2(1-l)+2k(1-2l)+4l+2k-2=0

∴k=1/4 , l=5/13, ∴ PQ;PB =l:1=5:13 （答）

質問１：求め方の意味はわかったのですが、計算ができませんでした。
(a、-ka+b)=1　という計算がどうして -k(a.a)+(a.b)=1 となったのでしょうか？　(a,-ka+b) これらを互いに掛けたのではなくて、
a・a＋-ka+b・-ka+b としたのでしょうか？すみません基本なところで＞＿＜
質問２：最後のほうえ、(b.c)=(a.c)=2これらを(A),(B)に代入してとありますが、(B)はｂ、ｃ、a.cがあるので、代入は簡単なのですが、
どうように（Ａ）に代入したくても、（Ａ）は -k(a.a)+(a.b)=1と
もじが (b.c)＝(a.c)ではないので、代入できなさそうなのですが？？
（Ｂ）に代入して得たＫを（Ａ）に代入ってことでしょうか？？
＞＿＜

回答No.1

alkantala · ベストアンサー

【質問１について】
ベクトルの内積( , )に関して
(1)(A,B+C)=(A,B)+(A,C)　(2)(A+B,C)=(A,C)+(B,C)
(3)(kA,B)=k(A,B) (4)(A,kB)=k(A,B)
が成り立ちます（ここでA,B,Cは全てベクトル、kは実数です）。
この中の(1)を使って
(a, -ka+b)=(a, -ka)+(a,b)
さらに右辺の第一項に(4)を使って
(a, -ka)+(a,b) = -k(a,a)+(a,b)
まとめると
(a,-ka+b)=-k(a,a)+(a,b)
です。ですから
(a,-ka+b)=1 から -k(a,a)+(a,b)=1
が結論されます。

ベクトルの内積(Ａ,Ｂ)はＡ・Ｂとも表記されますが、
(1)～(4)の性質を計算で使う際は（Ａ,Ｂ）の記号の方が
間違いをしにくく、また見やすいのでよく使います。
この(A,B)で内積を表す場合、ベクトルの成分表示（またはベクトルの成分表示による計算）と混同しやすいので注意して下さい。
見分けるポイントはカッコの中のものが数字かベクトルかです。

【質問２について】
こちらは単純な読み違いかと思います。
>(a,a)=(b,b)=4, (a,b)=|a||b|cos60°=2
>同様に（b.c)=(a,c)=2。これらを(A),(B)に代入して
で「これら」が指す部分は
(a,a)=(b,b)=4, (a,b)=2, （b,c)=(a,c)=2
全てだと思います。
したがって「これらを(A), (B)に代入して」というのは
この中で　(a,a)=4 と (a,b)=2 を（Ａ）に代入し、
(a,c)=2 と (b,c)=2 を（Ｂ）に代入する
という意味だと思います。

お礼

ありがとうございました！！返事おそくなってごめんなさい！
復習してました！！！