ベクトル

質問

kを正の定数とし、三角形OABの辺OA,OBの延長上に点C,Dをそれぞれ
V(AC)＝kV(OA),V(BD)＝kV(OB)となるようにとり、AD,BCの交点をEとする。
このとき
V(BC)＝(k+ア)V(OA)-V(OB)
V(AD)＝-V(OA)+(k+イ)V(OB)
V(OE)(k+ウ)/(k+エ){V(OA)+V(OB)}が成り立つ。
直線OA,OB上に点P,QをそれぞれV(OP)＝aV(OA),V(OQ)＝bV(OB),
a＞1,b＞1を満たすようにとれば
V(PQ)＝オカV(OA)+キV(OB)
V(PE)＝{(k+ク)/(k+ケ)-a}V(OA)+{(k+コ)/(k+サ)}V(OB)
である。さらに点Eが線分PQ上にあり、三角形OPQの面積が三角形OABの面積の3倍とるなるとき
a+b＝(k+ス)/(k+セ),ab＝ソ
が成り立つから、k＝5のとき
a＝タ、b＝チ/ツ　または　a＝チ/ツ、b＝タである。

という問題です。

V(BC)＝(k+1)V(OA)-V(OB)
V(AD)＝-V(OA)+(k+1)V(OB)
V(OE)＝(k+1)/(k+2){V(OA)+V(OB)}
V(PQ)＝-aV(OA)+bV(OB)
V(PE)＝{(k+1)/(k+2)-a}V(OA)+(k+1)/(k+2)V(OB)
ここまでは分かりましたがこれ以降が分かりませんでした。
教えて下さい。

回答No.1

debut · ベストアンサー

EがPQ上にあるから、PE:EQ=m:(1-m)とすれば
(1-m)V(OP)+mV(OQ)=V(OE)
面倒なので、(k+1)/(k+2)=t とすると、
a(1-m)V(OA)+bmV(OB)=tV(OA)+tV(OB)から
a(1-m)=t,bm=t
m=t/bをa(1-m)=tに代入して、a(1-t/b)=t
bをかけて、
a(b-t)=bt
ab-at=bt
at+bt=ab
a+b=ab/t

ところで、△OPQが△OABの面積の３倍なので、
3*｜V(OA)｜*｜V(OB)｜=｜V(OP)｜*｜V(OQ)｜
（これは、面積の公式で∠AOB=∠POQ=θとすれば
(1/2)OA*OB*sinθから導けます）
よって、ab=3

というようにやればいいような・・

お礼

回答ありがとうございました。
(a,b)＝(2,3/2),(3/2,2)という答えになりました。