多角形の面積

質問

順番（右回り、左回り）に与えられた座標から、その多角形の面積を算出する方法として

多角形 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E8%A7%92%E5%BD%A2#.E9.9D.A2.E7.A9.8D.E5.85.AC.E5.BC.8F

この式がありますが、これが多角形の面積になる証明はどのようにすればよいのでしょうか。
面積Sに関する式の2行目～3行目の絶対値の変形は正しいのでしょうか？

また、
多角形の面積
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/area2.htm
この式がどのように導出されたのか分かりませんでした。

三角形の面積については何の問題も無いのですが、
多角形の面積が算出できる式についての証明、考え方について教示いただければ幸いです。
よろしくお願いします。

回答No.4

noname#101087 · ベストアンサー

>質問で提示した後者のページの式、或いは前者のページで示されている式から面積が算出できること
>（絶対値の半分が面積となること）を数学的にというか証明する際にはどのように表現できるのでしょうか…。

「前者のページ」
ベクトル(二次元)の外積の大きさを求める式の流用です。(順序を入れ替えると正負反転するので、絶対値をとる)
たとえば、下記ページ参照。
　http://yosshy.sansu.org/gaiseki.htm

「後者のページ」
　(Y2+Y7)*(X2-X1)/2
これは、台形面積の計算式、
　(上底+下底)*高さ/2
のまんまですね。

お礼

何度もご教示いただき本当にありがとうございます。

座標成分同士を順にクロスした積の値の総和の絶対値の半分が面積となることを不思議に思っていました。
何によって正になったり負になったりするのかが感覚的に理解できていなかったようです。

大分納得することができました。
ありがとうございました。失礼します。

回答No.3

noname#101087

>後者についても頂いた回答を参考に考察しても納得できていません…。

はしょり過ぎてましたか？

引用ページの図面下の「表」は見ずに、図面に現れる台形を考えます。
七角形の例ですが、上側に四辺、下側に三辺、ですね。
上側に四辺からx軸に垂線が引かれており、台形が四個できます。その面積はそれぞれ
　(Y2+Y7)*(X2-X1)/2
　(Y7+Y6)*(X4-X2)/2
　(Y6+Y8)*(X6-X4)/2
　(Y8+Y5)*(X7-X6)/2
これらの和が、上側四辺とx軸の間の面積(Su)になります。

同様にして、下側に三辺とx軸の間の面積(Sd)を求めます。

求めたい七角形の面積は(Su-Sd)として得られますね。
整理してみると、引用ページにある面積Ｓ算式になりませんか？

お礼

回答ありがとうございます。
当該ページの多角形についての面積の差の追跡ができ、感覚的に理解できました。
X, Y 直後の値を添え字かと思い混乱してしまいましたが…；

横に関して凹多角形になる場合についても考えたのですが、
その場合についても多角形内部の面積が算出できることが感覚的に理解できました。
本当にありがとうございます。

説明してもらい恐縮なのですが、質問で提示した後者のページの式、或いは前者のページで示されている式から
面積が算出できること（絶対値の半分が面積となること）を数学的にというか証明する際にはどのように表現できるのでしょうか…。

ご教示いただければ幸いです。

回答No.2

eatern27

＞面積Sに関する式の2行目～3行目の絶対値の変形は正しいのでしょうか？
その変形は正しくないですね。(2行目の絶対値の中身が全部正or全部負である場合に限り正しいです)
というより、1行目,あるいは,2行目の式が多角形の面積を与えるのはけっこうな特殊な場合に限られてます。まぁ、凸多角形の場合でしかも原点が凸多角形の内部にある時と考えるのがいいでしょう。(凸でない多角形の場合だと、原点の位置が多角形の内部にあるだけでは不十分です。しかも、このような点が常にとれるわけではありません)

じゃぁ、３行目も間違いなのかというと、そういうわけではありません。むしろ、３行目は任意の多角形に対して(原点はどこでもＯＫです。辺と辺とが交差するものも多角形と呼ぶのなら、そういう図形は除きます)、その面積を与えます。(後者のリンク先の結果と同じものです)

後者のリンク先の公式に関しては
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/20vectr/090vct.html
の一番下の右側の図が参考になるかなぁ。(積分の話はとりあえず無視してもいいです)
発想としては、y_upの下側の面積(Ｓ＋Ｓ')から、y_bmの下側の面積(Ｓ')を引けば、図形の面積Ｓが求めるという事です。
多角形の場合には、Ｓ＋Ｓ'やＳ'が台形の和で書けますよね。

お礼

回答ありがとうございます。
お二方の回答を参考にしても、どうなっているのか式を追究できません…。

後者については、面積差がどのように計算されているのか認識できませんでした。
もっと考えてみたいと思います。

回答No.1

noname#101087

>多角形 - Wikipedia
>面積Sに関する式の2行目～3行目の絶対値の変形は正しいのでしょうか？

ご自身が「以下の文章には正確性に疑問があります」といってます。
あなたのコメント通り、絶対値を勝手に越境させちゃ、有効性が限定されますよね。

>多角形の面積

台形(底辺がY軸に平行)の面積差を勘定している感じですね。
これは、アルゴリズムを練っていけば有望です。

お礼

回答ありがとうございます。
前者の式が面積と一致することが完全に証明できません。

後者についても頂いた回答を参考に考察しても納得できていません…。
もっと考えてみたいと思います。