座標から求める面積

質問

こんにちわ。中三受験生です。

関数の問題とかで「座標から求める面積」って感じの問題がありますよね。そのときに数学の先生から簡単な方法を教えてもらいました。

例題
Ａ(0,0)Ｂ(2,4)Ｃ(6,0)から成り立っている三角形ＡＢＣの面積を求めよ。

っていう問題だったら
１、たてにＡＢＣＡという順番（最初の座標を必ず最後にもう一度）で書く
２、斜めに掛けていき、下に縦の和を書く
３、左右の大きいほうから小さいほうを引き、２で割る
　(0,0)
0(2,4)0
24(6,0)0
0(0,0)0
----------
24　　　0
24-0=24 24÷2=12 A.12cm2

ということなのですが、、、何でこうなるのか不思議です！！私や友達の塾の先生や新しく来た数学の先生では誰もわかりませんでした。どなたかわかる方がいらっしゃいましたら御回答お願いします。

※たてに並べる順番は、ＡＢＣの順番でなくても良いですが四角形や五角形などはある点から右、もしくは左回りでなくてはいけません。
※どんな多角形でも必ず２で割ります。

回答No.2

rinri503 · ベストアンサー

おそらく次を簡略化したものでしょう
三角形の座標（ｘ１，ｙ１）（ｘ２，ｙ２）（ｘ３，ｙ３）とします
Ｘ軸、Ｙ軸に各頂点をとおり平行線を引き、長方形の面積をだします。
　　　　Ｓ１＝（ｘ３－ｘ１）（ｙ２－ｙ１）
次に３隅の三角形の面積を引きます
　　　Ｓ２＝１／２｛（ｘ３－ｘ１）（ｙ３－ｙ１）＋
　ｘ３－ｘ２）（ｙ２－ｙ３）＋（ｘ２－ｘ１）（ｙ２－ｙ１）｝
　　これらを展開して　Ｓ１－Ｓ２をだすと
　Ｓ１－Ｓ２＝１／２｛ｘ１（ｙ３－ｙ２）＋ｘ２（ｙ１－ｙ３）＋ｘ３（ｙ２－ｙ１）｝
　　　　となります

先生が書いた　　x１　ｙ１
　　ｘ２ｙ１　　x２　ｙ２　ｘ１ｙ２
　　ｘ３ｙ２　　ｘ３　ｙ３　ｘ２ｙ３
　　ｘ１ｙ３　　ｘ１　ｙ１　ｘ３ｙ１

｛x１y３＋x２y１＋x３y２）－右をたしたものの
１／２と一致しますから、おそらくこれでしょう

お礼

回答ありがとうございます。
見事な証明っ！！！って感じです。やっぱりどんな公式も立証できるちゃんとした理由があるんですね。
わたしもrinri503さんのように数学が得意になれるようにがんばります。

回答No.1

shootingeye

外積の応用ですが
中学生レベルではなく
高校入試にこの解法を使うと
点くれません

お礼

回答ありがとうございます。
わたしはあくまでも、どうしてこうなるかを知りたかっただけなんです。