極方程式の面積の求め方

質問

極方程式ｒ＝f(θ)で表される図形の角度がα～βの範囲の部分の面積は、
Ｓ＝１／２∫(α→β)ｒ^２ｄθ
（インテグラル、αからβまで、２分の１×ｒの二乗、ｄθ）
で表されるのでしょうか？教えてください。
もしそうだとしたら、証明もしていただけるとありがたいです。

回答No.1

springside · ベストアンサー

どの程度厳密な証明が必要なのかわかりませんが、かなり直観的でよければこんな感じでしょう。

r=f(θ)が表す図形の「θからθ+dθまでの部分」を考えます。この場合、dθが微少なので、θのときのrとθ+dθのときのrを同じと見なせます。

すると、「θからθ+dθまでの部分」は、「半径r、中心角dθの（すごく薄い）円弧」と見なせます。

この円弧の面積は、
　πr^2×(dθ/2π) = (1/2)r^2dθ
なので、求めたい面積全体Sは、これをθ=αからβまで積分したものになり、
　S = ∫[α→β](1/2)r^2dθ
　　= (1/2)∫[α→β]r^2dθ
となります。

お礼

理解できました。
どうもありがとうございました。

回答No.2

endlessriver

ちょっとわかりにくいのですが線の両端からx軸に垂線を降ろしたときに出きる２つの３角形を考えると面積は次式が成り立つ。
S+(1/2)r(α)・sinα・cosα=(1/2)r(β)・sinβ・cosβ+∫[x(β)→x(α)]ydx
I=∫[x(β)→x(α)]ydxを考える
y=r(θ)sinθ,x=r(θ)cosθでxはθの関数となるから
dx=(r'cosθ-rsinθ)dθだから、変数をθに変換して
I=∫[β→α]rsinθ{r'cosθ-r・sinθ}dθ
=∫[β→α]{rr'sinθcosθ-(r・sinθ)^2}dθ
=(1/2)∫[β→α]{(r^2・sinθcosθ)'-r^2}dθ
=(1/2){[r^2・sinθcosθ][β→α]}-(1/2)∫[β→α]r^2dθ
=(1/2){[r^2・sinθcosθ][β→α]}+(1/2)∫[α→β]r^2dθ
このIを元の式に代入すればよい。ちっと無理矢理か。

お礼

何とかわかったような気がします。
解答してくださって、どうもありがとうございました。