中学レベルの関数です。

質問

関数y＝－2x2乗の変数xがaから4だけ増加したとき、変化の割合が20であった。aの値を求めよ。

答えは－3/4な気がするのですが解き方がわかりません。
詳しく教えてください。
おねがいします。

回答No.2

Napoling · ベストアンサー

前回答者さまが正攻法をズバリいっていますので、補足的に説明します。初めて学ぶ方向けの説明です。
　変化の割合は、二点を結ぶ一次関数直線の傾きであり、【ｘが増えた量】分の【ｙが増えた量】でもありますね。次は理解しなくてもいいですが、ｘがａから（ａ＋４）へと４増えたときにｙは１００増えている（２０＝４分の１００）というわけですな。
　解き方としては、ａを使ってｙを表してみよう、となります。
　【ｘ＝aのとき】ｙ＝－２ａ＾２
　【ｘ＝a＋４のとき】ｙ＝－２（ａ＋４）＾２
　　　　　　　　　　　 ＝－２（ａ＾２＋８ａ＋１６）
　　　　　　　　　　　 ＝－２ａ＾２－１６ａ－３２
　この二つで変化の割合の２つ目の説明にぶちこんで（代入して）みるわけです。変化の割合は２０だということがわかっているので、【ｘ＝a＋４のとき】の方がｙが大きい値だということを確認しつつ、【ｘが増えた量】分の【ｙが増えた量】でしたから、【４】分の【（－２ａ＾２－１６ａ－３２）－２ａ＾２】＝２０となります。数式に直すと
　２０＝｛（－２ａ＾２－１６ａ－３２）－（－２ａ＾２）｝／４
　これを解いて
　２０＝（－１６ａ－３２）／４
　２０＝－４ａ－８
　　ａ＝－７　やったね、ということです。

お礼

Napolingさん、とても詳しい回答ありがとうございます！
ｔ（ｐ＋ｑ）＝２０　で求められるんですね。
さっそく覚えて使ってみたいと思います。
またよろしくお願いします。

回答No.3

Napoling

さらに必勝法を説明します。
　二次関数と一次関数の交点を扱った問題で有用な公式があります。
ｙ＝ａｘ＾２　と、ある一次関数が２点で交わるとき、交点のｘ座標をｐ、ｑとおくと、一次関数は　ｙ＝ａ（ｐ＋ｑ）ｘ－ａｐｑ　と表せる、です。
　たとえば、ｙ＝２ｘ＾２　と　ｘ座標　－４、８で交わる一次関数はｙ＝２（－４＋８）ｘ－２・（－４）・８
ｙ＝８ｘ＋６４　と一気に求められるのです。

　これを使うと問題も一気に解けます。公式のａと問題のａが間違えやすいので、公式のａをｔとおくことにしますね。そこで、問題には変化の割合が２０となるとあるので、ｔ（ｐ＋ｑ）＝２０　となることになります。ｔ＝－２、ｐ＝ａ、ｑ＝ａ＋４ですから、
－２（ａ＋ａ＋４）＝２０
－２（２ａ＋４）＝２０
－４ａ－８＝２０
－４ａ＝２８
ａ＝－７
うわ、早。となるわけです。どうぞおためしあれ。

回答No.1

incd

xがaのとき、y = -2a^2
xが(a+4)のとき、y = -2(a^2 + 8a +16)

よって、y の変化分は、
-2(a^2 + 8a +16) - (-2a^2)
= -16a -32
と表せる。
x の変化分は 4だから、変化の割合は
(-16a -32)/4 = -4a -8
と表せる。

そこで、方程式
-4a -8 = 20
が立てられて
a = -7
を得る。

という感じです。変化の割合をaで表してしまうのがポイント。

お礼

incdさん、とてもわかりやすい回答ありがとうございました！
全然－3/4じゃないですね・・・
またよろしくお願いいたします。