囲まれる面積の求め方

質問

y=x^2とy=(-1/2)x^2+3x+9/2で囲まれる図形を
y=(-1/2)x+15/2で２つに分けたとき、y>=(-1/2)x+15/2の部分の面積
を求めよ。y=(-1/2)x+15/2のグラフは、y=x^2とy=(-1/2)x^2+3x+9/2の交点を
通る直線(y=2x+3)に垂直な直線です。

普通は求める面積を∫[1->5/2]と∫[5/2->3]の２つに分けると思うのですが、
次のように考えましたが、答えとは異なります。どこがまちがっているのでしょうか。
よろしくお願いします。
y=2x+3の切片を点Ａとする。y=(-1/2)x+15/2とy=2x+3との交点をＢとする。
y=x^2とy=(-1/2)x^2+3x+9/2の交点で右の点をＣとする。
ABの長さ9/√5,ACの長さ3√5より、
求める面積を∫[9/√5->3√5]{(-1/2)x^2+3x+9/2-x^2}dxとしました。
が答えは違いました。正解は47/16>
どこが間違っていて、どう直すといいのか教えてください。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。

＞ABの長さ9/√5,ACの長さ3√5より、
＞求める面積を∫[9/√5->3√5]{(-1/2)x^2+3x+9/2-x^2}dxとしました。
直線ACに沿って、積分を実行しようとしているようですね。
しかし、
・積分区間は、直線ACに沿っていますが、
・積分変数が xのまま（x軸に沿って）となっています。

ですので、結果は当然のことながら合いません。

もしこの方法を押し通すのであれば、
・積分変数も変えないといけませんし、
・また、被積分関数も置き換えないといけません。

はっきり言って単純ではありません。（単純ではないどころか、相当複雑な感じが・・・）

お礼

回答ありがとうございます。
間違いが理解できました。
積分されるものが、ＡＣ軸の変数でなければならないということですね
垂直に何か意味があるのかと思い、一見良いように思えましたが・・・。

回答No.4

noname#189285

No3で回答した者です。質問を読み間違ってました。私がNo3で記した、二つの範囲に分ける方法はお分かりだったのですね・・・。

＞求める面積を∫[9/√5->3√5]{(-1/2)x^2+3x+9/2-x^2}dxとしました

グラフを簡単に書いてみて下さい。積分しようとしている式

Y=(-1/2)x^2+3x+9/2-x^2

は、二つの式(放物線)の「差」なので、X軸に垂直なY(長さ)を表しています。

例えば積分せずにそのままX=2を代入するとY=9/2となりますが、これはX=2のY軸線上の、上のグラフの線から下のグラフの線までの長さを示しています。

これを積分するということは、あるXの範囲においてY軸を無限に細かく刻んだ場合の上記の「長さ」の集合を全て足し合わせて面積を出す、ということに他なりません。従って上式(二つの式の差の式)を積分する方向は、その差に直角を向いているX軸線方向となります。

また二つの式の交点は(-1,1)と(3,9)です。従って差の式を積分して囲まれた面積を出す場合の有効範囲は、-1≦X≦3の範囲です。それを外れている範囲は、そもそも二つの式(放物線)に囲まれていない、という意味です。

質問者様の範囲9/√5->3√5というのは、3を超えています。少数で書けば4.025≦X≦6.708の範囲に関して、二つの放物線の差を積分している訳です。もちろん何らかの数字は答えとして出ます。囲まれない範囲のタテ方向(Y方向)の長さの集合の面積が出る訳です。

と言うわけで、質問者様が間違っているのは、積分する式の方向と積分範囲の方向が直角になっていないのが原因と思います。

＞どう直すといいのか教えてください

No3で回答した以外の方法の場合は、かなり難しいです(私には無理です)。当然ながら、y=(-1/2)x+15/2から放物線までの「長さ」をこの直線に直角方向(＝y=2x+3の方向)で表すことが出来れば、その差の式をy=(-1/2)x+15/2(差と直角)方向の範囲で積分すれば答えは出せるかも知れません。

お礼

回答ありがとうございます
垂直をうまく利用できないかと思って
y=2x+3の方向の積分を考えましたが、
難しそうですね。

回答No.3

noname#189285

質問者様はかなり理解されている方のようなので、簡単に記します。

y=x^2・・・(A)

y=(-1/2)x^2+3x+9/2・・・(B)

y=(-1/2)x+15/2・・・(C)

以降、(A)、(B)、(C)で記します。

(B)と(C)の交点は(1,7)です。

(A)と(C)の交点は(5/2,25/4)です。

(A)と(B)の交点は(3,9)です。

※交点は二点ずつありますが、関係あるほうのみ記しています。

従って1≦X≦5/2の範囲は

式(B)－式(C)の差の式

Y=(-1/2)X^2+3X+9/2+(1/2)X-15/2

を定積分すれば面積が出ます。答えは27/12です。

次に5/2≦X≦3の範囲については

式(B)－式(A)の差の式

Y=(-1/2)X^2+3X+9/2-X^2

を定積分すれば面積が出ます。答えは11/16です。

これらを足したら求める面積なので

27/12＋11/16＝141/48＝47/16

以上が答えとなります。

お礼

回答ありがとうございます
この積分も少し計算が大変ですよね

回答No.2

naniwacchi

#1です。

「垂直」って何か使えそうな気がしますよね。＾＾
先の回答に少し補足しておきます。

＞・また、被積分関数も置き換えないといけません。
この部分ですが、曲線上の点と直線との距離として計算する（表す）必要があります。
できなくはなさそうですが。

あとは、1次変換を使って回転させて直線と x軸が一致するように・・・
というのも考えることができますが、大変ですね。＾＾；

せっかく考えたことなので、ここぐらいまではイメージしておいてください。

お礼

回答ありがとうございます
変数変換をこころみましたが、積分される式が分数の式で
しかも√がついていてたいへんそうです。
放物線上の点を文字で置いてやってみました