実験データからの補間（パラメータ2つ）

質問

実験からインプット(x)とアウトプット(y)の回帰式(y=f(x))を求めます。
n個の異なる気温(T)で実験を行うと、n個の回帰式が作れます。
ここから、インプットと気温をパラメータとして
y=g(x,T)
といった関数を生成したいのですが、このような問題に対して数学の分野で
一般的に行われている方法はあるのでしょうか？
（数学でなくても、解決法をご存知の方がいらっしゃればお願い致します）

ひとつの気温に対するy=f(x)についてはデータが多いのですが、
n=5で、異なる気温での実験が少ないです。また、回帰式は3次多項式を使っています。
3次多項式係数の係数を次数ごとに補間してTの関数で表し、
y=a(T)x^3+b(T)x^2+c(T)x+d(T)
としようかと考えたのですが、これは正しいのでしょうか？

回答No.1

noname#21649 · ベストアンサー

計算自体は．同大のサルスあたりを使えば（使わなくても．参考文献を取って同じようなプログラムを作れば）．誰でもできますので．
「非線形最小二乗法」か「線形最小二乗法」
を選択する場合と．
回帰が選られる条件（相関ではない）であれば．分散分析でも同じように計算できます。

が．ご質問の内容で．「数学」の範囲を逸脱した内容があります。
これば．
＞考えたのですが、これは正しいのでしょうか？
の部分です。統計を使った手法では．方程式の真偽を調べる方法がありません。
御自身の該当実験結果と．実験に関係した理論式から．何かしらかの手段を用いて．近似式を求めなければなりません。数値解でも良いですし．代数解でもよいです。
統計では．「たまたまこのような結果になった」場合を排除できない（有名なのは．毎年放送される年末ジャンボの高額当選者の統計分析）のです。

御自身の知識に依存します。

お礼

御回答有難うございます。

「非線形最小二乗法」と「線形最小二乗法」
について調べてみたいと思います。

回答No.3

stomachman

Tを固定してa(T)～d(T)を決める問題は線形最小二乗法であり、ごく簡単です。Excelなどを使っても計算できます。これで各Tについてa(T)～d(T)が分かります。

モデルが
f(x)=a(T)x^3+b(T)x^2+c(T)x+d(T)
で良いかどうかは、データを見て決めることです。実際に計算して、f(x)とy(x,T)（x,Tにおける実測値）の残差
ε(x) = f(x)-y(x,T)
をプロットしてみて変な癖が見られなければ、モデルfは実測値yに良く合っていると言えるでしょう。キチンとやるには統計解析が必要ですが。

次にa(T)、b(T)、c(T)、d(T)もプロットしてみましょう。そして、低次の多項式などで表せないかと睨むんです。
例えばこれらが2次式で表せそうだ、ということになったとすると、a～dについてそれぞれ係数が３個ある訳ですから、gは全部で１２個の係数を含むモデルになります。
係数をp[i,j]と書くことにします（iはxに関する次数、jはTに関する次数）と、
g(x,T)=(p[3,2]T^2+p[3,1]T+p[3,0])x^3+(p[2,2]T^2+p[2,1]T+p[2,0])x^2+(p[1,2]T^2+p[1,1]T+p[1,0])x+(p[0,2]T^2+p[0,1]T+p[0,0])
というモデルを考えたことになります。展開してみれば分かるように、これもやはり線形最小二乗法の問題であって、簡単に解けます。

教科書としてはいつも、中川・小柳「最小二乗法による実験データ解析」東京大学出版会をお薦めしています。

お礼

ご回答有難うございます。

モデルが適切かどうかは、データをみて決めるわけですね。
試してみたいと思います。
有難うございました。

回答No.2

noname#21649

＞ついて調べてみたいと思います。
かなり古いのですが．
東京大学出版かい．UP応用選書．非線型最小二乗法
で．何とかできると思います。

Nじ方程式への当てはめは．数値計算のプログラム集ならば．大体入っていますので．利用可能な計算機センターのライブラリーを見せていただけはかけるかと思います。
残さからパラメーターの変更方法にいろいろありますが．最後には．メッシュ計算がありますので．最新のパソコンの演算処理能力に依存した計算をすれば良いでしょう。

解の巣問題とか．鞍部問題に注意してください。これに引っかかったらば．メッシュ計算しか対応がありませんので。

お礼

再度のご回答有難うございます。

それほど性質の悪い関数にはならないと
思いますので、なんとかやってみたいと思います。