フーリエ変換の公式が解りません

質問

最近学校で習ったフーリエ変換の公式の中に、
『f(ax)→F(u/a)/|a|』と言うものがあるのですが、
これの解き方が解りません。
既に投稿された質問の方も覗いてみたのですが、
何がどうなって結果に行き着くのか、細かい部分も知りたいです。
どうかよろしくお願いします。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

単なる変数変換（置換積分）の話です。

F(u) = ∫f(t) g(tu) dt (積分はt =-∞からt=∞までの定積分）
という式（フーリエ変換の場合ならg(y) = exp(-iy）ですが、それに限らず、この式）に
t = ax
F(u) = ∫f(ax) g(axu) a dx (積分はax=-∞からax=∞まで）
さらに
u = v/a
を代入して、
F(v/a) = ∫f(ax) g(xv) a dx (積分はax=-∞からax=∞まで）

さてこのとき、axじゃなくてxについて積分範囲を書くとどうなるか。もちろん、
a＞0であれば、x=-∞からx=∞まで、ってことですが、
a＜0であれば、x=∞からx=-∞まで、になります。
だから、
(1) a＞0のときはF(v/a) = a ∫f(ax) g(xv) dx (積分はx=-∞からx=∞まで）
(2) a＜0のときはF(v/a) = a ∫f(ax) g(vx) dx (積分はx=∞からx=-∞まで）
= - a ∫f(ax) g(xv) dx (積分はx=-∞からx=∞まで）

両方合わせればつまり
a≠０ならば F(v/a) = |a| ∫f(ax) g(xv) dx (積分はx=-∞からx=∞まで）

ということになります。おしまい。

つまり、フーリエ変換とは関係なし。（だから「フーリエ変換の公式」として憶えるべきものかどうかは疑問です。）

お礼

遅れて申し訳ありません。
どうも、ありがとうございました。
大変参考になりました。

回答No.1

connykelly

フーリエ変換の性質の下準備が必要ですので、ここでいろいろ書くよりも参考URLを見ていただくほうが早いと思います。
http://power.ee.sophia.ac.jp/~miyatake/lecture/math/

参考URL：

http://power.ee.sophia.ac.jp/~miyatake/lecture/math/